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1本章中考演练一、选择题1．[2015·温州]如图28－Y－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是()图28－Y－1A.34B.43C.35D.45[答案]D2．[2014·天津]cos60°的值等于()A.12B.22C.32D.33[答案]A3．[2015·乐山]如图28－Y－2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()图28－Y－2图28－Y－3A.33B.55C.233D.255[解析]D如图，过点B作BD⊥AC(点D正好在格点外)，如图，由勾股定理，得AB＝12＋32＝10，AD＝22＋22＝22，所以cosA＝ADAB＝2210＝255.4．[2015·丽水]如图28－Y－4，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是()A.BDBCB.BCABC.ADACD.CDAC[答案]C2图28－Y－4图28－Y－55．[2015·荆门]如图28－Y－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为()A.13B.2－1C．2－3D.14[解析]A∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝2AC.又∵D为边AC的中点，∴AD＝DC＝12AC.∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝22DC＝24AC，∴tan∠DBC＝DEBE＝24AC2AC－24AC＝13.6．[2013·衢州]如图28－Y－6所示，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1m，3≈1.73)()图28－Y－6A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m[答案]D7．[2014·临沂]如图28－Y－7，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()图28－Y－7图28－Y－83A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里[解析]C如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°.在Rt△ABC中，sin∠ABC＝ACBC＝40×12BC＝22，∴BC＝202海里．二、填空题8．[2014·白银]在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝32，cosB＝12，则∠C＝________．[答案]60°[解析]∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝32，cosB＝12，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.9．[2014·黔西南]如图28－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__________．图28－Y－9[答案]3410．[2014·宁波]为解决停车难的问题，在如图28－Y－10所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__________个这样的停车位(2≈1.4)．图28－Y－10[答案]174[解析]如图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×22≈1.54(米)，图28－Y－11CE＝5×sin45°＝5×22≈3.5(米)，BE＝BC＋CE≈5.04米，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷22≈3.14(米)，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．三、解答题11．[2015·黔南州]如图28－Y－12是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1∶3若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图28－Y－12解：需要拆除，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝10米．在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝1∶3，∴∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝20米，BD＝103米，5∴AD＝BD－AB＝103－10≈7.32(米)．∵3＋7.32＝10.32＞10，∴高原坡角10米的建筑物需要拆除．12．[2013·绥化]如图28－Y－13，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．图28－Y－13解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝12AB＝4，BD＝AB·cos∠ABD＝8×32＝43.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝43＋4.13．[2014·遂宁]已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：PD2＝PB·PA；(3)若PD＝4，tan∠CDB＝12，求直径AB的长．图28－Y－14图28－Y－15解：(1)证明：连接OD，OC.∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°.∵直径AB⊥CD，6∴O，P是CD垂直平分线上的点，∴OD＝OC，PD＝PC.又∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)证明：∵∠ODP＝90°，∴∠PDB＋∠ODB＝90°.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠PDB＝∠ADO＝∠A.又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD，∴PD2＝PB·PA.(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，∴∠A＝∠CDB.又∵tan∠CDB＝12，∴tanA＝12，∴AD＝2BD.∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶2.又∵PD＝4，∴PA＝8，PB＝2，∴AB＝6.14．[2014·南充]马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图28－Y－16可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)．7(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．图28－Y－16图28－Y－17解：(1)如图28－Y－17，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离．根据题意，得∠PAH＝90°－53.50°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．设PH＝x海里．在Rt△PHB中，tan45°＝xBH，∴BH＝x海里．在Rt△PHA中，tan36.5°＝xAH，∴AH＝xtan36.5°≈43x海里．∵AB＝140海里，∴43x＋x≈140，解得x≈60，即PH≈60海里，因此可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离约为60海里．(2)在Rt△PHA中，AH≈43×60＝80(海里)，PA≈602＋802＝100(海里)，救助船A到达P处的时间tA≈100÷40＝2.5(时)；在Rt△PHB中，PB≈602＋602＝602，救助船B到达P处的时间tB≈602÷30＝22(时)．∵2.522，∴救助船A先到达P处．