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解直角三角形1．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝12，c＝2，则b的值等于(D)A.55B.255C.355D.455【解析】∵tanA＝ab＝12，∴a＝b2，又∵a2＋b2＝c2，∴b22＋b2＝4，∴5b24＝4，∴b＝455.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(B)A．m·sinα米B．m·tanα米C．m·cosα米D.mtanα米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC中，cosB＝22，sinC＝35，AC＝5，则△ABC的面积是(A)A.212B．12C．14D．215．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD为BC边上的高．则下列结论中，正确的是(B)A．AD＝32ABB．AD＝12ABC．AD＝BDD．AD＝22BD6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝23，则∠B＝__30°__．【解析】本题是已知两直角边解直角三角形，由tanB＝ba＝236＝33，得∠B＝30°.7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°，则a＝__12__，b＝__43__．【解析】本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sinA＝ac，得a＝sinA·c＝32×83＝12.由∠A＝60°，得∠B＝30°，所以b＝12c＝43.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__．【解析】底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角．9．在△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形．(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；(2)已知a＝13，c＝23，求b；(3)已知c＝282，∠B＝30°，求a；(4)已知a＝2，cosB＝13，求b.解：(1)∵tanA＝ab，∴a＝b·tanA＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a2＋b2＝c2，∴b＝c2－a2＝232－132＝13；(3)∵cosB＝ac，∴a＝c·cosB＝282×32＝146；(4)∵cosB＝ac，∴c＝acosB＝213＝6.又∵b2＝c2－a2，∴b＝c2－a2＝62－22＝42.10．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知a＝4，b＝8，求c.(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c.(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.解：(1)c＝a2＋b2＝42＋82＝45；(2)a＝btanB＝10tan60°＝103＝1033，c＝bsinB＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a＝c×sinA＝20×32＝103，b＝c×cosA＝20×12＝10.11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝6.解：(1)∠A＝90°－∠B＝30°，c＝acosB＝16，b＝a·tanB＝83；(2)∠B＝90°－∠A＝45°，a＝b·tanA＝6，c＝bcosA＝23.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝22，解这个直角三角形．解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝22，∴sinB＝ACAB＝12，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°.BC＝AB2－AC2＝8－2＝6.13．如图28－2－4，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝12，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝(A)图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长(结果保留根号)．解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.在Rt△ABC中，∵cosB＝ABBC，sinB＝ACBC，∴BC＝ABcosB＝2cos60°＝4，∴AC＝BC·sinB＝4×sin60°＝23，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝6＋23.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数．解：在Rt△BDC中，因为sin∠BDC＝BCBD，所以BC＝BD×sin∠BDC＝102×sin45°＝102×22＝10.在Rt△ABC中，因为sinA＝BCAB＝1020＝12，所以∠A＝30°.16．如图28－2－7，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝12AC＝3，∴BD＝CD＝3.由勾股定理得：AD＝AC2－CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)．图28－2－8解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．