初中数学【9年级下】26.1反比例函数2

第二十六章反比例函数第1课时反比例函数26.1反比例函数1．反比例函数的定义(1)形如_____________________的函数，叫做反比例函数，其中x是________，y是函数．自变量(2)自变量x的取值范围是_________的一切实数．2．“待定系数法”确定函数解析式若y是x的一次函数，则设y＝___________________；若y是x的正比例函数，则设y＝_________________；若y是x的反比例函数，则设y＝_________________.y＝kx(k为常数，k≠0)不等于0kx＋b(k为常数，k≠0)kx(k为常数，k≠0)kx(k为常数，k≠0)知识点1反比例函数的定义【例1】判别下列式子是否表示y是关于x的反比例函数？如果是，请指出相应的k值是多少？①y＝4x；②y＝－5x；③y＝6x＋1；④yx＝3；⑤xy＝123；⑥y＝－kx；⑦y＝－x；⑧y＝xπ；⑨y＝3x－1.思路点拨：根据定义进行判断．解：②⑤⑨是反比例函数，k值分别为－5,123,3.反比例函数定义式及常见的变式(k为常数，k≠0)：①y＝kx；②y＝kx－1；③xy＝k.【跟踪训练】1．下列函数中，是反比例函数的是()D2．已知函数y＝kxk－2是反比例函数，求k的值．解：由题意得，k－2＝－1且k≠0，解得k＝1.A．x(y－1)＝1B．y＝1x＋1C．y＝1x2D．y＝3x知识点2求反比例函数解析式(重点)【例2】(1)已知变量y与x成反比例，并且当x＝3时，y＝7，①写出y与x之间的函数解析式；②求当x＝7时函数的值；(2)已知函数y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与(x－2)成反比例，且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝－1，求出y与x的函数解析式．思路点拨：(1)y与x成反比例→设y＝kxk≠0→确定k→代回去写出解析式(2)y2与(x－2)成反比例中，学会把(x－2)看作一个整体．解：(1)①设y＝kx(k≠0)，∵当x＝3时，y＝7，∴7＝k3，即k＝21.∴函数解析式为y＝21x.②把x＝7代入y＝21x，得y＝217＝3.(2)∵y1与x成正比例，y2与(x－2)成反比例，∴设y1＝k1x，y2＝k2x－2.∴y＝k1x－k2x－2.把x＝3，y＝5；x＝1，y＝－1分别代入上式，得5＝3k1－k2，－1＝k1＋k2解之得k1＝1，k2＝－2.∴函数解析式为：y＝x＋2x－2.【跟踪训练】为__________．23．已知反比例函数y＝2x的图象经过点A(m,1)，则m的值4．如图26-1-1，某反比例函数的图象过点(－2,1)，则此反)图26-1-1B比例函数的解析式为(A．y＝2xB．y＝－2xC．y＝12xD．y＝－12x5．反比例函数y＝kx和一次函数y＝12x－4都经过点A(－2，m)，求反比例函数的解析式．解：由于一次函数y＝12x－4经过点A，∴m＝12×(－2)－4＝－5.∴A(－2，－5)．把点A代入y＝kx，得k＝(－2)×(－5)＝10.∴反比例函数的解析式为y＝10x.第2课时反比例函数的图象和性质探究：y＝(k≠0)可变形为k＝__________.1．反比例函数的图象xy(1)当k0时，由于______得正，因此可以判断x，y的符号________，所以点(x，y)在____________象限，所以函数图象位于__________象限．相同第一或第三一、三kxxy(2)当k0时，由于__________得负，因此可以判断x，y的符号________，所以点(x，y)在____________象限，所以函数图象位于__________象限．二、四归纳：反比例函数的图象是_______，它有_____分支．两个当k0时，函数图象位于____________象限；当k0时，函数图象位于____________象限．xy相反第二或第四双曲线一、三二、四2．反比例函数的性质(1)形状：________线．双曲(2)位置：k0时，图象在第________象限；一、三k0时，图象在第________象限．二、四(3)增减性：k0时，在每一个象限内，y随x的增大而______；k0时，在每一个象限内，y随x的增大而______．减小增大知识点1反比例函数的图象及画法(重点)【例1】在同一坐标系中画出反比例函数y＝4x与y＝－4x的图象．(1)函数y＝4x图象的两个分支存在什么关系；(2)y＝4x与y＝－4x的图象存在什么样的关系？x－4－3－2－11234y＝－1－－2－4421y＝－124－4－2－－1解：列表：思路点拨：列表―→描点―→连线4x4x43434343描点、连线，如图D54.图D54(1)其两个分支关于原点对称．x轴对称，也关于y轴对称．(2)在同一坐标系中，反比例函数y＝4x与y＝－4x的图象关于画图象时注意：①双曲线的两支是断开的，因为x≠0；②双曲线的两端呈“无限接近坐标轴”但永远不与坐标轴相交；③一般分别在每支曲线上取四到五个点，取的点越多，图象越精确．【跟踪训练】1．图26-1-2是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()图26-1-2BA．y＝x2B．y＝4xC．y＝－3xD．y＝12x图象大致是()B2．在同一坐标系中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝2x的知识点2反比例函数的性质(重难点)y2)，(x3，y3)，其中x1x20x3，试判断y1，y2，y3及0的大小关系．【例2】反比例函数y＝6x图象上有三个点(x1，y1)，(x2，思路点拨：判断k的正负→确定图象所在象限→判断三点所在象限→利用增减性判断解：∵k＝60，∴函数图象在第一、三象限．∵x1x20x3，∴(x1，y1)，(x2，y2)在第三象限，(x3，y3)在第一象限．∴y10，y20，y30.∵k0时，在每个象限内y随x的增大而减小，∴y2y10.∴y2y10y3.(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减情况．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号．(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．3．若函数y＝【跟踪训练】m＋2x的图象在其象限内y的值随x值的增大B而增大，则m的取值范围是(A．m－2C．m2)B．m－2D．m2解析：反比例函数在其象限内y的值随x值的增大而增大，则需要m＋20，所以m－2.图象的一个分支，对于给出的下列说法：图26-1-34．(2012年山东济宁)如图26­1­3，是反比例函数y＝k－2x的①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1＞a2时，则b1＜b2.其中正确的是__________(在横线上填出正确的序号)．①②④知识点3k的几何意义(知识拓展)【例3】过如图26-1-4所示双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，求四边形PMON的面积．图26-1-4解：依题意设函数解析式为y＝kx(k0)，P(x，y)．∵PM⊥x轴，∴△PMO是直角三角形，且OM＝|x|，PM＝|y|.∴S△PMO＝12OM·PM＝12|x||y|＝12|xy|.又由y＝kx，有k＝xy，∴S△PMO＝12|k|.同理，可得S△PNO＝12|k|.∴S四边形PMON＝S△PMO＋S△PNO＝12|k|＋12|k|＝|k|.若P在第四象限，或双曲线在第一、三象限，则同样有S四边形PMON＝|k|.因此k的几何意义为：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的四边形的面积为|k|.【跟踪训练】图26-1-5为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则四边形OBAC周长的最小值为()A．4B．3C．2D．1解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，此时OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为4.5．如图26­1­5为反比例函数y＝1x在第一象限的图象，点AA的图象交于点M(a,1)，MN⊥x轴于点N(如图26-1-6)，若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式．图26-1-66．已知：正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝k2x(x0)解：∵MN⊥x轴，点M(a,1)，∴S△OMN＝12a＝2，∴a＝4.∴M(4,1)．∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝k2x(x0)的图象交于点M(4,1)，∴k1＝14，k2＝4×1＝4.∴正比例函数的解析式是y＝14x，反比例函数的解析式是y＝4x.