初中数学【9年级下】28.2.1　解直角三角形

第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形及其应用28．2.1解直角三角形A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一已知两边解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝15，则∠A的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°D2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是.343．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝32，AC＝36，解此直角三角形．解：AB＝62，∠A＝30°，∠B＝60°.知识点二已知一边及一锐角解直角三角形4．(2020·成华区模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是()A．5sin36°B．5cos36°C．5tan36°D．10tan36°C5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为()A．2＋3B．23C．3＋3D．33A【变式题】构造直角三角形解题如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为.3＋36．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．(1)∠B＝60°，a＝4；解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tanB＝ba，得b＝atanB＝4tan60°＝43.由cosB＝ac，得c＝acosB＝4cos60°＝8.(2)∠A＝60°，c＝2＋3.(2)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.由sinA＝ac，得a＝csinA＝(2＋3)×32＝3＋32.由cosA＝bc，得b＝ccosA＝(2＋3)×12＝2＋32.知识点三已知一锐角三角函数值及一边解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6cm，则BC的长为()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cmC8．(2020·盐城中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝3，求AB的长．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝33，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°.又∵CD＝3，∴BC＝CDtan30°＝3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝BCsin30°＝6.9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论中错误的是()A．∠BDC＝∠αB．BC＝m·tanαC．AO＝m2sinαD．BD＝mcosαC10．如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，sinB＝45，点E在AC上，且AE∶EC＝2∶3，则tan∠ADE的值为()A.13B.12C.23D.25B【解析】如图，作EF∥CD交AD于点F.∵sinB＝sinC＝ADAC＝45，∴设AD＝4x，AC＝5x，则CD＝3x.∵AECE＝AFDF＝AD－DFDF＝23，∴DF＝125x，AF＝85x.∵AFAD＝EFCD＝25，∴EF＝65x.∴tan∠ADE＝EFDF＝12，故选B.11．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝23，∠B＝90°，∠C＝120°，则线段AD的长为.27【解析】如图，连接AC.在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝23，∴tan∠ACB＝ABBC＝223＝33.∴∠ACB＝30°.∴AC＝2AB＝4.∵∠BCD＝120°.∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°.在Rt△ADC中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝23，∴AD＝AC2＋CD2＝42＋（23）2＝27.12．如图，在△ABC中，CD是边AB的中线，∠B是锐角，且sinB＝22，tanA＝12，AC＝35.(1)求∠B的度数与AB的长；解：如图，作CE⊥AB于点E.设CE＝x.在Rt△ACE中，∵tanA＝CEAE＝12，∴AE＝2x.∴AC＝x2＋（2x）2＝5x.∴5x＝35.解得x＝3.∴CE＝3，AE＝6.在Rt△BCE中，∵sinB＝22，∴∠B＝45°.∴△BCE为等腰直角三角形．∴BE＝CE＝3.∴AB＝AE＋BE＝9.解：∵CD是边AB上的中线，∴BD＝12AB＝4.5.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5.∴tan∠CDE＝CEDE＝31.5＝2，即tan∠CDB的值为2.(2)求tan∠CDB的值．13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝BEAB，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6·tan60°＝63.又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CDCE，∠E＝30°，∴CE＝CDsinE＝4sin30°＝412＝8.∴BC＝BE－CE＝63－8.(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BEAE，∴设BE＝4x，AE＝5x，则AB＝3x.∴3x＝6，得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.(2)若sinA＝45，求AD的长．∴tanE＝ABBE＝68＝CDDE＝4DE，解得DE＝163，∴AD＝AE－DE＝10－163＝143.14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(1)证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，且tanB＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC.∴AC＝BD.(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝1213，故可设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝AC2－AD2＝5k.(2)若sinC＝1213，BC＝12，求AD的长．∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k.∵BC＝12，∴18k＝12.∴k＝23.∴AD＝12k＝12×23＝8.