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第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形及其应用28．2.2应用举例第1课时解直角三角形的简单应用A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点利用解直角三角形解决简单实际问题1．(2020·黔西南州中考)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为()A.4sinα米B．4sinα米C.4cosα米D．4cosα米B2．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．asin26.5°B.acos26.5°C．acos26.5°D.atan26.5°D3．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)()A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosαB4．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m(结果保留一位小数，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)．8.15．(2020·孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为m(结果保留根号)．(533－1.6)6．(2020·乐平市一模)如图是一个仰卧起坐健身器侧面示意图，AC、BC是支架，OC是坐垫，OD为靠背(可绕点O旋转)，OA＝OD＝900mm，∠BAC＝20°，当α＝40°时，点D到地面的距离约为mm(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)．6127．如图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为E，DE＝15cm，AD＝14cm.则半径OA的长为cm(结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36)．24.58．(2020·宁波中考)图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)．解：(1)如图②，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC.(1)求车位锁的底盒长BC；在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝AB·cosB＝50×cos47°≈50×0.68＝34.∴BC＝2BH＝68cm.(2)在Rt△ABH中，AH＝AB·sinB＝50×sin47°≈50×0.73＝36.5.∵36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于()A．asinx＋bsinxB．acosx＋bcosxC．asinx＋bcosxD．acosx＋bsinxD10．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°.如果梯子的底端B外移到D，那么梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为米(精确到0.01米，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)．1.0211．古代人民为了保护家园，在城池的四周修建护城河，为了方便交通，在护城河上安装了吊桥如图①所示，图②是图①的平面图，其中BD为城墙，AB为桥，AD为吊绳，当收紧吊绳时，桥AB运动到CB处．若DB⊥AB，AB＝8m，∠DCB＝37°，∠DBC＝30°，求此时CD的长度(结果保留小数点后一位，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73)．解：如图②，过点D作DE⊥BC于点E.∵∠DBC＝30°，∴DE＝12BD，BE＝3DE.由题意得BC＝AB＝8m，设DE＝xm，则BE＝3xm，CE＝(8－3x)m.∵tan∠DCB＝tan37°＝DECE，∴x8－3x≈0.75.解得x≈2.61，即DE≈2.61m.又∵sin∠DCB＝sin37°＝DECD，∴CD＝DEsin37°≈2.610.6≈4.4(m)．答：此时CD的长度约为4.4m.12．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳(参考数据：3≈1.73)．解：如图②，作CE⊥AB于点E，DH⊥AB于点H，CF⊥DH于点F，∴∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°.∴四边形CEHF是矩形．∴CE＝FH.在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC·sin60°≈34.6(cm)．∴FH＝CE≈34.6cm.∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH－FH≈49.6－34.6＝15(cm)．在Rt△CDF中，sin∠DCF＝DFCD≈1530＝12，∴∠DCF＝30°.∴此时台灯光线为最佳．13．图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离；160解：(1)②如图②，过点A作AF⊥BC于点F，则AF＝AB·sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2(cm)．∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为AF＋OA－CD≈28.2＋6.8－8＝27(cm)．(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小(结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)．(2)如图③，过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，则∠MBA＝70°，AF≈28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm.∴CM＝AF＋AO－DH－CD≈28.2＋6.8－6－8＝21(cm)．∴sin∠MBC＝CMBC≈2135＝0.6.∴∠MBC≈36.8°.∴∠ABC＝∠ABM－∠MBC≈33.2°.