初中数学【9年级下】28.2解直角三角形及其应用

§28.2解直角三角形及其应用(1)一、新课引入1、在三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：sin=cos=tan=AaAcAbAcAaAAb的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解直角三角形的概念；会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．12二、学习目标三、研读课文直角三角形中五个元素的关系知识点一1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系：_______________（2）两锐角之间的关系：_____________（3）边角之间的关系：_______________________________________由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元素的过程，叫.a2+b2=c2∠A+∠B=90°sin=AaAc的对边斜边cos=AbAc的邻边斜边tan=AaAAb的对边的邻边解直角三角形三、研读课文直角三角形中五个元素的关系知识点一2、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？若已知直角三角形的某____个元素（直角除外，至少有一个是____），就可以求出这个直角三角形中________未知元素.2边其余3个三、研读课文直角三角形中五个元素的关系知识点一1、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．2、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（）A.35B.45C.925D.16253545B三、研读课文解直角三角形知识点二例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．解：∵tanA==_______=∴∠A=60°∴∠B=_______=30°∴AB=2AC=________26ab36290°-∠A22三、研读课文解直角三角形知识点二例2在Rt△ABC中，∠B=35度，b=20，解这个三角形．（结果保留小数点后一位）解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°∵tanB=______∴∵sinB=______∴C=______=______≈____2028.6tantan35baB62CABbabcsinbB20sin3534.9三、研读课文解直角三角形知识点二1、Rt△ABC中，若sinA=,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解这个直角三角形.45222222CBA834解：∵sinA=∴A=30°AC2=AB2-BC2==6∴AC=21222ac222226四、归纳小结1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间的等量关系：（1）三边之间的关系：___________________（2）两锐角之间的关系：_________________（3）边角之间的关系：_________________________________________2、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫_________________.3、学习反思：__________________________________________________________________。a2+b2=c2∠A+∠B=90°sin=AaAc的对边斜边cos=AbAc的邻边斜边tan=AaAAb的对边的邻边2个解直角三角形五、强化训练1、在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于（）2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，c=则∠A=________，b=________.A.52B.53C.255D.2335252D45°35五、强化训练3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=AB=15，求△ABC的周长和tanA的值45BCA解：∵sinA=∴∴△ABC的周长=15+12+9=3645BCAB44151255BCAB22221512819ACABBC124tan93BCAAC五、强化训练4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.c=1472°BCA解：∠A=90°-72°=18°2222sinsin181414sin184.3144.313.3BCAABBCBCACABBC即第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用（2）一、新课引入1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.(1)三边之间的关系（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系解：依题意可知12二、学习目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．生使学生了解仰角、俯角的概念，使学根据直角三角形的知识解决实际问题；三、研读课文认真阅读课本第87至88页的内容，完成下面练习，并体验知识点的形成过程.知识点一例32003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6400km，取3.142，结果精确到0.1km)三、研读课文知识点一分析:从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应该是视线与地球相切时的_____.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出（即）切点三、研读课文知识点一解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，∴______∴弧PQ的长为______由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约______km.20712071三、研读课文知识点一温馨提示：（1）在解决例3的问题时，我们综合运用了_____和_____________的知识.（2）当我们进行测量时，在视线与______线所成的角中，视线在______线上方的角叫做仰角，在______线下方的角叫做俯角．圆解直角三角形水平水平水平知识点二从函数的图象获取信息知识点二例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.知识点二从函数的图象获取信息知识点二BD+CD练一练2325练一练如下左图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米.ABC解：如图所示，依题意可知∠B=600答：梯子的长至少3.5米四、归纳小结2、学习反思：____________________________________________________________________________.1、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做____角，在水平线下方的角叫做_____角．仰角俯角五、强化训练1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100五、强化训练解：依题意可知，在Rt∆ADC中所以树高为：20.49+1.72=22.21第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用（3）一、新课引入画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.北南西东东南西北了解“方位角”航海术语，并能根据题意画出示意图；12二、学习目标利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.三、研读课文知识点一例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）认真阅读课本第89至91页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.解直角三角形的应用三、研读课文知识点一解:如图,在中,PC=__•_________≈在中,PB=________=________≈129.7答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里.080cos25PA72.505三、研读课文知识点二练一练如右下图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里（结果保留根号）．40230°解：在Rt△APC中，∵AP=40，∠APC=45°∴AC=PC=40在Rt△BPC中，∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60°∴BC=PC•tan60°=40×=40∴AB=AC+BC=40+40（海里）答：海轮行驶的路程AB为(40+40)海里30°四、归纳小结1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_______）（2）根据条件特点，适当选用______等去解直角三角形.（3）得到数学问题的答案（4）得到_______的答案2、学习反思：________________________________________________________.几何图形三角函数实际问题五、强化训练1、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．（结果保留根号）．解：在Rt△ABO中，∵tan∠BOA==tan60°=∴AB=BO•tan60°=4×=4（米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4米。五、强化训练2、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.解：如图，过B点作BD⊥AC于D∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45°设BD=x，则CD=BD=x在Rt△ABD中，AD=x·tan60°=x在Rt△BDC中，BC=BD=X又AC=5×2=10，AD+CD=AC∴x+x=10，得x=5（-1）∴BC=•5（-1)=5(-)（海里），答：灯塔B距C处5(-)海里。五、强化训练3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？解：如图，过A作AD⊥BC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离，∵∠CAC=30°，∠DAB=60°，∴∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∵∠CAC=30°，∠ACC=90°，∴CD=AC=6海里，由勾股定理得AC==6≈10.392＞8，即渔船继