初中数学【9年级下】第二十八章小结与复习

小结与复习第二十八章锐角三角函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业九年级数学下（RJ）教学课件(2)∠A的余弦：cosA＝＝；(3)∠A的正切：tanA＝＝.要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=ac；∠A的邻边斜边bc∠A的邻边∠A的对边absin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝，tan60°＝.2.特殊角的三角函数1232332222132123合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：_______________；三角关系：_________________；边角关系：sinA＝cosB＝_____，cosA＝sinB＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B3.解直角三角形acsincosAAsincosBBbc(2)直角三角形可解的条件和解法◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=，cosα=_____________，sin2α+cos2α=.tanα·tan(90°－α)=___.cos(90°－α)sin(90°－α)11对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；对于cosα，角度越大，函数值越____.大小(4)锐角三角函数的增减性(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(不同计算器操作可能不同)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南图19.4.5坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tanα.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=.(3)坡度，坡角hl(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；β③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.,tantanMEMEbMNMEa考点一求三角函数的值考点讲练例1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为()A.B.C.D.4543343545解析：根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝4533.44kkB方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．1.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形．直角2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.12针对训练例2矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．108解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.34∴tan∠AFE=tan∠BCF=.34108针对训练解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC=如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．3434BDAD，222212513ACADCD，3412.13ADAC考点二特殊角的三角函数值例3计算：032tan60.33解：原式＝331231.(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)tan30°·tan60°＋cos230°.计算：333347.432332432.32解：原式解：原式针对训练考点三解直角三角形例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的长；53分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，353553xADxAD，53ADBCBCx，，543xx，(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，22221068ACADCD，2264100241ABACBC，8441sin.41241ACBAB方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).针对训练3解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长为AB＋BC＋ACsin=,ACADCAD∵∠3==1,tantan60ACDCADC∴∠tan=,ACADCDC∵∠3==2,sinsin60ACADADC∴∠2227.ABACBC27523.解：连接OC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.例5已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P.(1)求证：BP＝BC；解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，设OP＝x，AP＝3x，∴AO＝x.∵AO＝OE，∴OE＝x，∴AE＝x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中，∴，解得x＝3，∴AO＝x＝，即⊙O的半径为.(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径．131322224213223ACAE3722342xx226262E如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．45针对训练解：连接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得，BF=3x．∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=4.5∴△ABF∽△BDF，BFDF=AFBF，33=53xxx即，5.3x解得∴⊙O的半径为110AB2.23x考点四三角函数的应用例6如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE为m.103106sin45AFAE106F如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:．求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)3针对训练ABCDEF45°i=1:3ABCDEF45°i=1:3GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.10=103tanEHFHFi∠(米)，1032FGFHHG(米).又∵AG=DG=10米，∴(米).故加固后坝底增加的宽度AF为米.1032101038AFFGAG1038例7如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）3解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°，在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，33tan1.11BCxACBAC，∠GH在Rt△BDG中，∵BG=DG·tan30°，解得：x≈13，∴大树的高度为：13米.3331.11xDGBGx，，∴33331.113xx∴GH针对训练如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m