初中数学【9年级下】第二十七章小结与复习

小结与复习第二十七章相似要点梳理考点讲练课堂小结课后作业九年级数学下（RJ）教学课件(1)形状相同的图形(2)相似多边形要点梳理(3)相似比：相似多边形对应边的比1.图形的相似①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例.◑通过定义◑平行于三角形一边的直线◑三边成比例◑两边成比例且夹角相等◑两角分别相等◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例(三个角分别相等，三条边成比例)2.相似三角形的判定◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比◑面积比等于相似比的平方3.相似三角形的性质(1)测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2)测距4.相似三角形的应用(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(这时的相似比也称为位似比)5.位似(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.(3)位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.考点讲练考点一相似三角形的判定和性质针对训练1．如图,当满足下列条件之一时，都可判定△ADC∽△ACB．(1)；(2)；(3).∠ACD=∠B∠ACB=∠ADCBCADADACACAB或AC2=AD·AB2.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的其他两条边长为．36和393.如图，△ABC中，AB=9，AC=6，点E在AB上且AE=3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF=.BCAE2或4.54.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE:EC=1:2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为.1:95.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.B·ACDOP证明：连接AC，BC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°.又∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠CPB，∴△APC∽△CPB.∴PC2=AP·PB.APPCPCPB，∴例1如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDEFGH解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交于点M，设正方形的边长为xmm.M∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AM＝AD－MD＝80－x，解得x=48.即这个正方形零件的边长是48mm.ABCDEFGHM8012080xx，则.EFAMBCAD∴证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例2如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；ABCDFE(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.解：作BM⊥AC于点M.∵AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.ABCDFEM在Rt△BDM中，226333BM，2227BDBMMD，由(1)△ABD∽△CED得，BDADEDCD，即272ED，737.EDBEBDED，∴ABCDFEM证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°－(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.例3已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．(1)求证：AC⊥BH；ABCDGEOH(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．ABCDGEOH解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD.∵BD=8，∴AD=8.在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，由勾股定理得DC=6，则BC=BD+DC=14.∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴BC:CE=CE:CD，即CE2=BC·CD=14×6=84，∴CE=.221考点二相似的应用例1如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．2m1.2m3.6m2m1.2m3.6m解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.BCEFCDGE，即23.61.2BC，∴例2星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．解：如图，线段AB为纪念碑，在地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．根据，即可算出AB的高．CDDEABBE你还有其他方法吗？理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？针对训练ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴ABBOCDDO，∴1.826CD，解得CD=5.4m.故球能碰到墙面离地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m考点三位似的性质及应用针对训练1.在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个C2.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC和△A′B′C′不存在位似关系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'ABCDB3.如图，DE∥AB，CE=3BE，则△ABC与△DEC是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，面积比为.DAEBCC4:316:94.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO和△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形.若点A′的坐标为(2，－1)则点B′的坐标为.(4，－3)5.找出下列图形的位似中心.6.如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.ABC(1)在图中△ABC内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心为点O，位似比为2:3.OA′B′C′解：如图所示.(2)线段AA′的长度是.4237.如图，△ABC在方格纸中.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并求出B点坐标；解：如图所示，B(2，1).xyO(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；xyOA′B′C′解：如图所示.(3)计算△A′B′C′的面积S.xyOA′B′C′解：148=16.2S课堂小结相似相似图形位似相似多边形相似三角形性质平面直角坐标系中的位似应用性质判定平行线分线段成比例定义定义、判定、性质见章末练习课后作业