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第二十八章锐角三角函数解题技巧专题：构造直角三角形解题类型一录目页类型二◆类型一化斜为直1．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，tanC＝12，求△ABC的周长．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴AD＝BD＝22AB＝22×2＝1.∵tanC＝ADCD＝12，∴1CD＝12.∴CD＝2.∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3.在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AC＝AD2＋CD2＝12＋22＝5，∴△ABC的周长为2＋5＋3.2．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝15，cosC＝22，AC＝2.求：(1)BC的长；解：(1)如图，作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中，cosC＝22＝CHAC，AC＝2，∴CH＝1.∴AH＝AC2－CH2＝1.在Rt△ABH中，∵tanB＝AHBH＝15，∴BH＝5.∴BC＝BH＋CH＝6.(2)∵BD＝CD，∴CD＝12BC＝3，则DH＝DC－CH＝2.∴AD＝AH2＋DH2＝5.(2)∠ADC的正弦值．在Rt△ADH中，sin∠ADH＝AHAD＝55.∴∠ADC的正弦值为55.3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34.(1)求边AC的长；解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝AEBE＝34，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4.∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝32＋12＝10.(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．(2)如图，作BC的垂直平分线DF，交BC于F，连接DC.∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝52.∵tan∠DBF＝DFBF＝34，∴DF＝158.在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝（52）2＋（158）2＝258，∴AD＝5－258＝158.∴ADBD＝35.◆类型二等比代换4．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC.若tanB＝53，求tan∠CAD的值．解：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，则∠CED＝90°.又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴△CDE∽△BDA.∵DC＝12BD，∴CEAB＝DEAD＝CDBD＝12.∵tanB＝53，∴设AD＝5x，AB＝3x.∴CE＝32x，DE＝52x.∴AE＝152x.∴tan∠CAD＝ECAE＝15.5．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2.(1)求CD的长；解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠C＝∠ABC＝36°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝108°.∵AB＝BD，∠ABC＝36°，∴∠BAD＝∠BDA＝12×(180°－∠B)＝72°.∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝108°－72°＝36°.∴∠DAC＝∠ABC.∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴ACCD＝BCAC.∵AB＝AC＝BD＝2，∴2CD＝2＋CD2.解得CD＝5－1(负值舍去)．(2)如图，延长CB到E，使BE＝AB＝2，连接AE，则∠E＝∠BAE＝18°.(2)利用此图求sin18°的值．∵∠BAD＝72°，∴∠EAD＝72°＋18°＝90°.∵∠C＝∠CAD＝36°，∴AD＝CD＝5－1.在Rt△EAD中，sinE＝ADED＝5－12＋2＝5－14，即sin18°＝5－14.