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中考热点专题专题二：圆的综合1．(2020·金溪县一模)如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图①中，AC＝BC；解：(1)如图①所示，∠BDC＝30°.(答案不唯一)(2)在图②中，AC≠BC.(2)如图②所示，∠ADE＝30°.(答案不唯一)2．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；解：(1)如图①，连接OA，OB，∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°.∴∠ACB＝12∠AOB＝50°.(2)如图②，AD为⊙O的直径，若AB＝BC，求∠DAC的大小．(2)如图②，连接BD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.由(1)知∠ACB＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝50°.∴∠BAD＝90°－50°＝40°.∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝50°.∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝10°.3．(2020·常德中考)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC.(1)求证：EC是⊙O的切线；(1)证明：如图，连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∵DE⊥AB，∴∠OBC＋∠DFB＝90°.∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB.∴∠OCB＋∠ECF＝90°.∴OC⊥CE.∴EC是⊙O的切线．(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OB＝5，∴AB＝10.∴AC＝AB2－BC2＝100－64＝6.(2)若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．∵cos∠ABC＝BDBF＝BCAB，∴810＝4BF.∴BF＝5.∴CF＝BC－BF＝3.∵∠ABC＋∠A＝90°，∠ABC＋∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A.∴∠A＝∠ECF.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠ECF＝∠EFC.∴△OAC∽△ECF.∴ECOA＝CFAC.∴EC＝OA·CFAC＝5×36＝52.4．(2020·大丰区期中)如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.解：(1)CD与⊙O相切．理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∴CD与⊙O相切．(2)如图，连接EB，交OC于F，∵E为AC︵的中点，(2)若E是AC︵的中点，⊙O的半径为4，判断四边形AOCE的形状，并求图中阴影部分的总面积．∴AE︵＝CE︵.∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠EAC＝∠OAC，∴∠ECA＝∠OAC.∴CE∥OA.又∵OC∥AD，∴四边形AOCE是平行四边形．又∵AE＝EC，∴四边形AOCE是菱形．∴AE＝AO＝CE＝OC＝4.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°.∴EB∥CD.∵OC⊥CD，∴OC⊥BE.由垂径定理得F为BE中点．∴OF＝12AE＝12×4＝2.∴CF＝DE＝2.在Rt△OBF中，根据勾股定理得BF＝23，∴DC＝EF＝BF＝23，则S阴影＝S△DEC＝12×2×23＝23.