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中考热点专题专题五：几何综合1．(2020·上海中考)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE(SAS)．∴∠DCF＝∠BCE.(1)求证：△BEC∽△BCH；∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF.∴∠BCE＝∠H.∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.(2)∵BE2＝AB·AE，∴BEAB＝AEEB.∵AG∥BC，∴AEEB＝AGBC.∴BEAB＝AGBC.∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF.2．(2020·杭州中考)如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.(1)解：∵OE⊥AB，∴AE＝BE.∵AC是直径，∴∠ABC＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠C＝60°.(1)设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长；∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形．∴BC＝OC＝1，则AB＝AC2－BC2＝3.∵点F是OC的中点，∴OF＝FC.∴BF⊥AC.∴∠AFB＝90°.∵AE＝EB，∴EF＝12AB＝32.(2)①证明：如图，过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH.(2)连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF；②若DF＝EF，求∠BAC的度数．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC.∴△OFH∽△OCB.∴FHBC＝OFOC＝12.同理OEBC＝12，∴FH＝OE.∵OE⊥AB，FH⊥AB，∴OE∥FH.∴四边形OEHF是平行四边形．∴PE＝PF.②解：∵OE∥FG∥BC，∴EGGB＝OFFC＝1.∴EG＝GB.易证△EFG≌△BFG，∴EF＝FB.∵DF＝EF，∴DF＝BF.∵DO＝OB，∴FO⊥BD.∴∠AOB＝90°.∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°.3．(2020·宁波中考)【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：AC2＝AD·AB.(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB.∴ADAC＝ACAB.∴AC2＝AD·AB.【尝试应用】(2)如图②，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A.若BF＝4，BE＝3，求AD的长．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C.又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF.∴BFBC＝BEBF.∴BF2＝BE·BC.∴BC＝BF2BE＝423＝163.∴AD＝163.【拓展提高】(3)如图③，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．(3)解：如图③，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝12∠BAD.∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形．∴AC＝EG，CG＝AE＝2，∠EAC＝∠G.∵∠EDF＝12∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC.∴∠EDF＝∠G.又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD.∴EDEG＝EFDE.∴DE2＝EF·EG.又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2.∴DE＝2EF.又∵DGDF＝DEEF，∴DG＝2DF＝52.∴DC＝DG－CG＝52－2.