巧用切线长定理解题

快乐学习，尽在苏州中学网校第1页共5页巧用切线长定理解题林绍隆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。本文就切线长定理在计算和证明中的应用，举几种常见的类型，以供参考。一、求角度例1.如图1所示，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为23，且AB＝6，求∠ACB的度数。图1解：连接OC交AB于点D∵CA、CB分别是⊙O的切线∴CA＝CB，OC平分∠ACB故OC⊥AB由AB＝6，可知BD＝3在Rt△OBD中，OB23故sin∠BODBDOB32332所以∠BOD＝60°又因B是切点，故OB⊥BC，所以∠OCB＝30°，则∠ACB＝60°。快乐学习，尽在苏州中学网校第2页共5页二、求线段长例2.如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC，若AD＝2，AE＝1。求CD的长。图2解：∵∠ABC＝90°，OB是半径∴CB切⊙O于点B∵AC切⊙O于点D∴CB＝CD由AC切⊙O于点D，可得ADAEAB2·而AD＝2，AE＝1，故AB＝4设CDCBx，在Rt△ABC中，有()xx24222，解得x3即DC＝3。三、证线段相等例3.如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的圆交AB于点D，过点D作⊙O的切线EF交AC于点E。求证：AE＝DE。图3证明：连接CD。由BC是⊙O的直径，可得∠CDB＝90°快乐学习，尽在苏州中学网校第3页共5页又因∠ACB＝90°，故CE切⊙O于点C。因DE切⊙O于点D，故CE＝DE所以∠EDC＝∠ECD则∠EDC＋∠ADE＝90°，∠ECD＋∠A＝90°∴∠ADE＝∠A。所以DE＝AE。四、证明线段成比例例4.如图4，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD⊥AB于点D，从C、B两点分别作半圆O的切线，它们相交于点E，连接AE交CD于点P。求证：PD：CE＝AD：AB。图4证明：显然∠PDA＝90°∵EB为半圆O的切线，AB是半圆O的直径，∴EB⊥AB，即∠EBA＝90°又因∠PAD＝∠EAB，所以△APD∽△AEB∴PD：BE＝AD：AB由EC、EB都是半圆O的切线，可知CE＝BE∴PD：CE＝AD：AB。五、证明线段平行例5.如图5，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是⊙O的直径。求证：AC∥OP。快乐学习，尽在苏州中学网校第4页共5页图5证明：连接AB，交OP于点D。∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB则有∠1＝∠2，PD⊥AB，可知∠3＝90°由BC是⊙O的直径，知∠4＝90°，则∠3＝∠4故AC∥OP。［练习］如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝3，过点B作以A为圆心、AC为半径的⊙A的切线，切点为D，延长CA交⊙A于点E，交切线BD的延长线于点F，连接DE。图6（1）求证：ED∥AB；（2）求线段EF的长及sin∠EDF。答案：（1）略（2）2，55快乐学习，尽在苏州中学网校第5页共5页