掌握求两圆内外公切线长的方法

1.掌握求两圆内外公切线长的方法。2.掌握两圆内公切线的性质，并能根据内公切线的概念及其性质解答有关的计算和证明问题。3.掌握用直尺作两圆内公切线的方法，了解用两圆内公切线的尺规作图法。(2)1．内公切线的概念：在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。2．内公切线的性质：3．内公切线长的计算：如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线AB＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上，∠APO1＝∠CPO2.ABCDPRrO2O1E构成Rt△O1EO2，则O2E＝R＋r，O1O2＝d，AB＝O1E＝。设⊙O1和⊙O2的半径分别为r，R，例2、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．过O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，则O1C=AB，O1A=BC．在Rt△O2CO1和．O1O2=10，O2C=O2B+O1A=6∴O1C=(cm)．∴AB=8（cm）O1O2ABC4．范例解析：例1要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。O2O1CBAPDE连结O1O2、O1A、O2B，过O1作O1C∥AB交O2B延长线于C，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，四边形AO1CB为矩形。例2已知⊙O1与⊙O2的半径之和等于8cm，两圆的一条内公切线长为6cm，求这两圆的圆心距。(如图)解：∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm∴O1O2＝＝10(cm)可知＝，O1QO2QO1BO2A分析：例3如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，直接证明这个比例式较困难，为此先看比，O1PO2P因此可得＝，O1PO2PO1CO2D注意CD为内公切线，连O1C、O2D可得O1C∥O2D，O1PO2PO1QO2Q求证：＝.连O1B、O2A可得O1B∥O2A，而O1C＝O2B，O2A＝O2D，同样注意和AB为公切线，O1QO2Q得＝，故可以得证.O1CO2DO1BO2AO2O1ABCDQP证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D∴＝，O1PO2PO1CO2D∵CD为⊙O1和⊙O2的内公切线∴O1C⊥CD，O2D⊥CD∴O1C∥O2D∴O1B⊥AB，O2A⊥AB又∵AQ为⊙O1和⊙O2的外公切线∴O1B∥O2A∵O1C＝O1B，O2D＝O2A∴＝O1QO2QO1AO2B∴＝.O1PO2PO1QO2QO2O1ABCDQP本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都是有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时，内公切线垂直连心线。如果两圆外切或内切时，过切点作两圆的公切线是解题时常用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其作用是可以构成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆心角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。1．两圆半径分别为8和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距d为()A．d＝3B．3＜d＜13C．d＝13D．d＞13A．两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。B．两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线。C．两圆只有两条外公切线，没有内公切线。D．两圆既无外公切线，又无内公切线。3．若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，其内公切线长为4cm，则O1O2长为______。4．两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长为15πcm和10πcm，则内公切线与连心线的夹角（锐角）等于______。2．⊙O1与⊙O2的半径分别为cm和cm，O1O2＝2cm，则()5．已知：如图(6)，⊙O1与⊙O2外切于点T，外公切线AB与连心线O1O2交于P，A、B是切点，求证：(1)∠ATB＝90°；(2)PT2＝PB·PA.6．若两圆内切时，圆心距为14cm，外切时，圆心距为40cm，则两圆圆心距为50cm时，内公切线的长为______cm。8．如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的半径分别为5和4厘米，则两圆圆心距为()7．若外离两圆的半径是5cm和3cm，内公切线与连心线所夹锐角的正弦为，则内公切线长____cm，圆心距为____cm。45A.9cmB.9cmC.cmD.cm929．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切线的交点，则AB的长()A．等于一条外公切的长。B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。10．已知：如图，两圆外切于P，直线MN与两圆分别切于M、N，过P作一直线交两圆于A、B，求证：AM⊥BN.课外作业2．两圆的半径分别为2.5和1.5，圆心距为5，则两圆的内公切线长为_______。3．两圆共有四条公切线，如果两圆圆心距为12，大圆半径为7，则小圆半径的所有可能的正整数值是_______。1．如果两圆半径分别为4cm和6cm，其圆心距为20cm，则两圆的两条内公切线所成的角是_______度。4．已知：如图(7)，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，B、C为切点，过A作直线EF交⊙O1于E，交⊙O2于F，连结EB、FC并延长交于G，(7)求证：GB2＋GC2＝BC2。5．如图(8)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D，若AF＝2AE，3AE＝2CE，AF＝4，求DE的长。6．若两圆外离且外公切线长m与内公切线长n的大小关系是()7．如果两圆的半径和它们的圆心距分别等于一个三角形的三条边，那么这两圆的公切线的条数是()A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．不能确定A．4B．3C．2D．18．如图，两圆的两条内公切线和一条外公切线围成△ABC，则△ABC的周长等于()A．一条外公切线长的二倍。B．两条内公切线长的和。C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线互相垂直，则内公切线的长为_______cm。10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角，则小圆半径与大圆半径之比为_______。