探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹

探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹数学组孟方明05年高考江苏卷试题第19题如下：如图1，圆1O和圆2O的半径都等于1，421OO，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PNPM2．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．以21OO的中点为原点，21OO所在直线为x轴建立直角坐标系，所得结果为031222xyx(解答略)．这表明切线长PM与PN的比值是定值2时动点P的轨迹是一个圆．那么，如果切线长PM与PN的比值是一个一般性定值，其轨迹还是一个圆吗？如果PM与PN的和、差、积是一个定值，这时的轨迹又是什么呢？笔者在数学作图软件“几何画板”的帮助下，探究得到了以下一系列有趣的结论，现归纳总结如下，供同行参阅．1商为定值已知圆2221)(:ryaxO，圆2222)(:ryaxO)(ra，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM、PN(M、N为切点)，记0:kPNPM，则当1k时，P的轨迹是直线0x；当1k时，P的轨迹是一个圆．(本文中圆1O、圆2O、PM、PN的含义相同，下略)分析：设),(yxP、)0,(1aO、)0,(2aO，222221)(ryaxrPOPM，222222)(ryaxrPOPN，则kryaxryaxPNPM222222)(:)(:，平方整理得，0))(1()1(2))(1(2222222rakxkayxk，①当1k时，①式即0x，轨迹是直线，图1O1O2当1k时，①式即22222222222)1(4)1(]1)1([kkakrykkax，轨迹是一个圆．2和为定值若0kPNPM，则(1)当ak2时，P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(或椭圆弧)；(2)当ak2时，P的轨迹是两条外公切线段；(3)当akra2222，P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线弧；(4)当222rak，P的轨迹是两条内公切线段；(5)当222)(2rakraa，P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线弧；(6)当)(2raak，P的轨迹是两个点；(7)当)(2raak，这样的P不存在．分析：由kPNPM，则kryaxryax222222)()(，∴222222)()(ryaxkryax，平方整理后得2222)(24ryaxkkax，①易知042kax，∴akx42，②同理若由222222)()(ryaxkryax可推出akx42，③②③即akx42，对①式平方，整理为)44(4)4(4222222222rakkykxak（akx42），④(1)当ak2时，④式可化为1444)4(4)44(22222222222rakyakrakkx（akx42），它表示焦点在x轴上的椭圆(或椭圆弧)，至于是否是一个完整的椭圆，取决于)4(4)44(222222akrakk与22)4(ak的大小(2)当ak2时，④式即ay（akx42），它表示圆1O和圆2O的两条与x轴平行的外公切线段，如图2，(3)当akra2222时，④式可化为1)4(4)44(44422222222222karakkxraky（akx42），它表示焦点在y轴上的双曲线弧；(4)当222rak时，④式即xrary22（arax22），它表示圆1O和圆2O的两条外公切线段，如图3，(5)当222rak时，④式化为1444)4(4)44(22222222222kraykakrakx⑤（akx42），若无akx42（即24216akx）的限制，⑤表示双曲线，且)4(4)44(2222222kakrakx，yx1O2OPO图2OxyO1O2图3故这里要考虑)4(4)44(222222kakrak与2416ak的大小，令)4(4)44(222222kakrak2416ak，解得)(4)(42raakraa，该不等式右半部分显然成立，∴只有当222)(2rakraa时，方程⑤才表示焦点在x轴的双曲线弧，而当)(2raak时，则它退化成两个点)0,(ra和)0,(ar，当)(2raak，方程⑤不表示任何轨迹．3差为定值而当PNPM为定值k（不妨讨论0k的情况）时，化简后得到方程)44(4)4(4222222222rakkykxak（akx42），与上面④式为相同的方程式，仅范围不同，故此处只给出结论，分析留给读者自行完成．若0kPNPM，则(1)当)(2raak时，这样的P不存在；(2)当)(2raak时，P的轨迹是点)0,(ra；(3)当)(22raaka时，P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆弧；(4)当ak2时，P的轨迹是平行射线)(axry（与已知圆外切）；(5)当akra2222时，P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线弧；(6)当222rak时，P的轨迹是射线xrary22（arax22）（与已知圆内切）；(7)当222rak时，P的轨迹是焦点在x轴上的一支双曲线（或双曲线弧）．注：若令0kPNPM，则对于上述各种情况，只需将其图象作关于x轴的对称变换，合并起来即为其轨迹．4积为定值由kPNPM，则kryaxryax222222)()(，平方整理为0)2)(2()(2222222222224kraaxxraaxxyraxy，∴2)(22222raxy，其中])2)(2[(4)(422222222222kraaxxraaxxrax从而22222224)(kxaraxy(1)当kra22时，点P的轨迹为两个分离的封闭图形，如图4，(2)当kra22时，点P的轨迹为两个相连的封闭图形，我们可以称其为“倒8字型”，如图5，(3)当kra22时，点P的轨迹为一个封闭图形，我们可以称其为“花生型”，如图6，Oxy图4Oxy图5Oyx图6