教学内容切线长定理

教学内容：切线长定理【学习目标】理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题【主体知识归纳】1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．圆的外切四边形的两组对边和相等．【基础知识讲解】1．“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量特征，要明确这条线段的端点是哪两个点，而“切线”是一条直线，它不可度量长度．2．理解切线的有关问题，应明确：(1)已知一条切线时，常有五个性质可用．若已知某一圆的两条切线平行，则连结圆上两个切点的线段为直径；若已知两条切线相交，那么又增加了切线长相等的性质．(2)如图7—155，PA、PB切⊙O于点A、B，则PA＝PB，PO平分∠APB，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分弦AB、平分以及△OAC∽△APC∽△OPA等结论．因此，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、垂直关系的重要依据．3．要注意比较圆内接四边形与圆外切四边形的特性．【例题精讲】例1：如图7—156，AB是⊙O的直径，AC、BF都是⊙O的切线，CF切⊙O于D，DE⊥AB，分别交AB、BC于E、G．求证：DG＝GE．剖析：因CA∥DE∥BF，故考虑借助于比例式来证线段相等．由于CA、CF、FB是切线，可得CA＝CD，DF＝BF，这样，就为证DG＝EG提供了条件．说明：借助于比例式来证明线段相等，是常用方法．本例灵活运用了平行线分线段成比例、切线长定理．思考：本例有结论，半径是AC、BF的比例中项，请证明，并利用它写出例1的另外解法．例2：如图7—157，PA、PB、CD都是⊙O的切线，∠P＝60°，设△PCD的周长为C1，⊙O的周长为C2，则C2和2C1的大小关系是A．C2＞2C1B．C2＝2C1C．C2＜2C1D．C1与半径有关剖析：△PCD的周长也就是PA＋PB的和，只要计算PA的长就可以了，C2仅与半径的大小有关．解：连结OA、PO．设⊙O的半径为Ｒ．∵C1＝PC＋CD＋DP又CＭ＝CA，DＭ＝DB∴C1＝PC＋CＭ＋DＭ＋PD＝PA＋PB＝2PA∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°在Rt△POA中，cotAPO＝AOPA∴PA＝AO·cotAPO＝3Ｒ∴C1＝23ＲC2＝2πＲ即C2＜2C1．故应选C．例3：已知⊙O内切于△ABC，DE∥BC，DE切⊙O于点P，△ABC的周长为20cm，如图7—158所示，设DE＝ycm，BC＝xcm，试写出y与x之间的函数关系式，并求当BC为多长时，DE取最大值，最大值是多少?解：∵BC＝x，BQ＝BＭ，CQ＝CN∴BＭ＋CN＝BC＝x．∴△ADE的周长为C△ADE＝AD＋DP＋PE＋AE＝AD＋DＭ＋EN＋AE＝AＭ＋AN＝C△ABC－(BＭ＋CN＋BC)＝20－2x又DE∥BC，∴BCDECCABCADE，即xyx20220∴y＝25)5(10110122xxx．∴当BC＝x＝5cm，DE＝y取最大值，最大值为25．例4：如图7—159，AD是⊙O的直径，直线l与⊙O交于E、F两点，过点A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，CD交⊙O于G．(1)证明：AD·BE＝FG·DF；(2)设AB＝m,BC＝n,CD＝p,试证明tanFAD、tanBAF是方程mx2－nx＋p＝0的两个实数根；(3)若(2)中的方程满足n2＝4mp,判断直线l与⊙O的位置关系．(1)证明：过点O作OM⊥l,垂足为M．由垂径定理，得EM＝FM．∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD∥OM．又∵AD是⊙O的直径，OD＝OA，∴CM＝BM，BE＝CF．∴∠AFD＝90°,∠AFD＝∠GCF＝90°．∵四边形AFGD是圆内接四边形，∴∠CGF＝∠FAD．∴△CFG∽△FDA．∴ADFGDFCF,即AD·CF＝FG·DF．∴AD·BE＝FG·DF．(2)证明：连结AG，则四边形ABCG是矩形，∴AB＝CG．∵tanFAD＝tanFGC＝ABCFCGCF,tanBAF＝ABFB,∴tanFAD＋tanBAF＝ABBCABFBCFABFBABCF,∵四边形ABCG是矩形，∴AG∥BC＝．∴∠FDG＝∠AFE．∴Rt△DCF∽Rt△FBA．∴FBCDABCF．∴CF·FB＝AB·CD．又∵AB＝m,BC＝n,CD＝p,∴tanFAD＋tanBAF＝mn,tanFAD·tanBAF＝mpABFBCFABFBABCF∴tanFAD、tanBAF是方程mx2－nx＋p＝0的两个实数根．(3)解：若(2)中的方程满足n2＝4mp,即Δ＝0．∴tanFAD＝tanBAF．∴ABFBABCF．即CF＝FB＝CE．∴点E、F重合．说明直线l和⊙O有一个公共点．∴直线l与⊙O相切．说明：本例是一道综合性很强的题目，而且一题多问，一环扣一环，请同学们在解题时一定要理清思路．【同步达纲练习】1．(1)若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为A．30°B．45°C．60°D．90°(2)⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆，梯形ABCD的周长为40cm，则此梯形的中位线的长为A．40cmB．20cmC．10cmD．5cm(1)如图7—160，若AB、AC分别切⊙O于B、C，延长OB到D，使BD＝OB，连AD，∠DAC＝78°，则∠ADO等于A．56°B．39°C．64°D．78°(4)如图7—161，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是A．10B．12C．14D．16(5)在⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为A．70°B．90°C．60°D．45°(6)已知⊙O的半径为3，点P和圆心O的距离为6，过点P作⊙O的两条切线，则切线的长为A．3B．33C．3D．323(7)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则△ABC的内切圆半径为A．1B．1.5C．2D．2(8)如图7—162，PA、PB是⊙O的两条切线，弦AB长为8cm,其弦心距为3cm,那么切线PA的长为A．5cmB．8cmC．320cmD．325cm(9)如图7—163，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,以AB上一点O为圆心的⊙O，与BC切于点D，与AC切于点E．那么⊙O的半径等于A．abB．2baC．abbaD．baab2．填空题(1)圆的外切等腰梯形的两底长分别是2cm和8cm，那么该圆的半径是________；(2)圆的外切平行四边形是________；(3)作一个半径为2cm的圆，使它与已知60°角的两边都相切，则圆心到角的顶点的距离是________；(4)Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于D，且AD＝5，BD＝3，则S△ABC________；(5)⊙O的半径为2，弦AB＝23，过A、B两点的⊙O的切线相交于点P，PO与圆相交于C，则C到PA的距离是________；(6)PA、PC分别切⊙O于A、C两点，B为⊙O上与A、C不重合的点，若∠P＝50°，则∠ABC＝________．(7)如图7—164，已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AC⊥PB于C，且与⊙O相交于点D．若∠DBC＝20°,则∠APB＝________度．(8)如图7—165，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC．以AB为直径的⊙O与腰CD相切，切点为E，设此圆的半径为6cm,sinC＝54,则上底AD的长为________．3．如图7—166，AB是半圆的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别为A、B、E，DO交AE于F，OC交BE于G，求证：(1)CO⊥DO；(2)四边形EFOG是矩形；(3)FG2＝AD·BC．4．如图7—167，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，PQ⊥OQ于Q，OQ交AB于M．求证：OA2＝OＭ·OQ．5．如图7—168，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在BC边上取一点E，使CE＝6，以CE为直径作半圆O，切AB于点D，问当BE等于多少时，AC＝6．6．如图7—169，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8厘米，AD＝24厘米，BC＝26厘米，AB是⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动．动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?(2)t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离?参考答案【同步达纲练习】1．(6)B2．(1)2cm(2)菱形(3)4cm(4)15(5)1(6)65°或115°(7)40°(8)3c3．连结OE．(1)证∠ODE＋∠OCD＝21(∠ADC＋∠BCD)＝90°．(2)证∠AEG＝∠EGO＝∠COD＝90°．(3)证△ODE∽△COE,得OE2＝DE·CE．再由OE＝FG，AD＝DE，CE＝BC即可得证．4．连结OP交BC于C．证OA2＝OC·OP．由△OCM∽△OQP知，OC·OP＝OM·OQ．∴OA2＝OM·OQ．5．连结OD，由△ABC∽△OBD及切割线定理，得.6363),6(2BDBEBEBEBD解之，得BE＝2．6．(1)当t＝6秒时，为平行四边形．当t＝7秒时，为等腰梯形．(2)当t＝32秒或t＝8时，直线PQ与⊙O相切．当0≤t＜32或8＜t≤832时，PQ与⊙O相交．当32＜t＜8时，PQ与⊙O相离