基于Drucker-Prager准则的边坡安全系数定义

第25卷增1岩石力学与工程学报Vol.25Supp.12006年5月ChineseJournalofRockMechanicsandEngineeringMay，2006收稿日期：2004–08–05；修回日期：2004–08–30作者简介：赵尚毅(1969–)，男，博士，1992年毕业于重庆大学采矿专业，主要从事岩土边坡工程稳定性及其数值分析方面的研究工作。E-mail：[e-mail]。基于Drucker-Prager准则的边坡安全系数定义及其转换赵尚毅，郑颖人，刘明维，钱开东(后勤工程学院建筑系，重庆400041)摘要：探讨了基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数定义形式，提出了各D-P准则之间的安全系数转换关系，并据此建立了基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数与传统Mohr-Coulomb准则条件下安全系数的关系。目前，ANSYS有限元软件采用的岩土材料屈服准则为莫尔–库仑六边形外接圆D-P准则，在利用有限元强度折减法计算边坡稳定安全系数时，可以先求出外接圆D-P准则条件下的安全系数，然后利用所提出的安全系数转换公式就可以直接计算出各D-P准则条件下的安全系数。对于平面应变条件下的强度问题，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(分关联和非关联两种情况)与莫尔–库仑准则等效，因此，通过转换就可以在ANSYS程序中实现莫尔–库仑准则，而不需要进行二次开发。这样就解决了基于D-P准则的有限元强度折减安全系数与传统工程中采用的安全系数(基于莫尔–库仑准则)的接轨问题。大量算例表明：在平面应变条件下采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则求得的安全系数与传统极限平衡条分法中用Spencer法求得的安全系数非常接近，且误差在1%～2%左右，已经具有相当高的计算精度，也同时证明所提出的方法具有可行性。关键词：边坡工程；边坡稳定分析；有限元强度折减法；Drucker-Prager准则；安全系数转换；莫尔–库仑匹配D-P准则；ANSYS中图分类号：文献标识码：A文章编号：1000–6915(2006)增1–0000–00STRENGTHREDUCTIONFINITEELEMENTANALYSISOFSLOPESSTABILITYUSINGDRUCKER-PRAGERYIELDCRITERIONZHAOShang-yi，ZHENGYing-ren，LIUMing-wei，QIANKai-dong(DepartmentofCivilEngineering，LogisticalEngineeringUniversity，ChongQing400041，China)Abstract：SlopestabilityanalysiswascarriedoutusingstrengthreductionFEMbaseontheDrucker-Pragercriterioninthispaper.ThedefinitionofslopestabilitysafetyfactorbaseontheDrucker-Pragercriterionwasproposed，andthesafetyfactorconversionformulawithdifferentDPyieldcriterionwasdeduced.ThesubstituterelationshipofsafetyfactorbaseontheDrucker-PrageryieldcriterionandMohr-Coulombyieldcriterionwassetupinthispaper.Currently，theMohr-CoulombhexagoncircumcircleDPcriterionwasadoptedintheANSYSprogram.So，wecancalculatethesafetyfactorusingANSYSwiththeMohr-CoulombhexagoncircumcircleDPcriterionatfirst，thusthesafetyfactorbaseontheotherDPyieldcriterion(suchastheMohr-CoulombmatchingD-Pyieldcriterionundertheplanestraincondition)canbeobtainedusingthededucedconversionformula.Undertheplanestraincondition，wecanadopttheMohr-CoulombyieldcriterionintheANSYSprogramwithoutsecondaryprogrammingdevelopmentthroughequivalentsubstitution.Aseriesofcasestudiesindicatedthatthe•2•岩石力学与工程学报2006年safetyfactorsaverageerrorbetweenthoseobtainedbystrengthreductionFEMbaseonplanestrainMohr-CoulombmatchingDPyieldcriterionandthosebySpencermethodisabout1%–2%.Theapplicabilityoftheproposedmethodwasclearlyexhibited.Keywords：slopeengineering；slopestabilityanalysis；strengthreductionFEM，Drucker-Prageryieldcriterion；safetyfactorconversionformulabetweendifferentDPyieldcriterion；Mohr-CoulombmatchingD-Pyieldcriterion；ANSYS1引言边坡稳定分析的有限元强度折减法利用不断降低岩土体强度，使边坡达到极限破坏状态，从而直接求出滑动面位置与边坡稳定安全系数，十分贴近工程设计，使边坡稳定分析进入了一个新的时代[1～8]。在有限元强度折减法中采用不同的屈服准则会得出不同的安全系数。传统边坡稳定分析的极限平衡条分法采用的是Mohr-Coulomb准则，但Mohr-Coulomb准则在三维应力空间中不是一个连续函数，而是由6个分段函数所构成，该准则在三维应力空间的屈服面为不规则的六角形截面的角锥体表面(见图1)，在平面上的图形为不等角六边形，其存在尖顶和菱角，因此，给数值计算带来困难。图1主应力空间中莫尔–库仑屈服面(c=0)Fig.1Mohr-Coulombyieldsurfaceinprincipalstressspace(c=0)目前，国际上流行的许多大型有限元软件，比如ANSYS以及美国MSC公司的MARC，NASTRAN等均采用了Drucker-Prager准则，即kJIF21(1)式中：1I，2J分别为应力张量的第一不变量和应力偏张量的第二不变量。，k是与岩土材料内摩擦角和粘聚力c有关的常数，不同的，k在平面上代表不同的圆(见图2)，各准则的参数换算关系见表1。Drucker-Prager屈服准则在主应力空间的屈服面为光滑圆锥面，在平面上为圆形，不存在尖顶处的数值计算问题。图2各屈服准则在平面上的曲线Fig.2Yieldsurfaceonthedeviatorplane表1各准则参数换算表Table1Relationshipofdifferentyieldcriterions编号准则种类kDP1外角点外接D-P)sin3(3sin2)sin3(3cos6cDP2莫尔–库仑等面积圆D-P2sin9(32sin322sin9(32cos36cDP3平面应变莫尔–库仑匹配D-P(非关联0)3sincoscDP4平面应变莫尔–库仑匹配D-P(关联)2sin33sin2sin33cos3cDP5内角点外接D-P)sin3(3sin2)sin3(3cos6c本文主要探讨基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数的定义形式及各D-P准则之间的安全系数转换关系，并探讨基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数与Mohr-Coulomb准则条件下安第25卷增1赵尚毅等.基于Drucker-Prager准则的边坡安全系数定义及其转换•3•全系数之间的关系。2基于Drucker-Prager准则的安全系数定义传统边坡稳定分析的极限平衡条分法采用Mohr-Coulomb准则，稳定安全系数定义为cc，tantan这种安全系数定义有明确的物理意义，安全系数定义可根据滑动面的抗滑力(矩)与下滑力(矩)之比得到。为了和目前边(滑)坡治理工程中采用的安全系数定义形式一致，对于Drucker-Prager准则，也采用/c，/)tan(的安全系数定义形式，这样便于工程实用。3不同D-P准则之间的安全系数转换D-P准则中k，有多种表达形式，采用不同的D-P屈服准则得到的边坡稳定安全系数是不同的，但这些屈服条件的安全系数又是可以互相转换的，下面推导各D-P准则条件下的安全系数转换关系。设00，c为初始强度参数，在外接圆D-P准则条件下的安全系数为1，折减后的参数为11，c，在平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(非关联流动法则)条件下的安全系数为2，折减后的参数为22，c，因此有2202011010tantantantancccc，(2)由式(1)可得02102021cossinsinsin(3)02202022cossinsinsin(4)因221113sin)sin3(3sin2(5)联立式(2)～(5)可得0202200221022cos12sin12sinsincos3(6)式(6)即为平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(非关联流动法则)和外接圆D-P准则(非关联流动法则)之间的安全系数转换关系式，这样只要求得了外接圆D-P准则条件下的安全系数1，利用该表达式就可以直接计算出平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则条件下的安全系数2。采用同样的方法可以推得平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(关联流动法则)条件下的安全系数2和外接圆D-P准则(关联流动法则)条件下的安全系数1之间的转换关系式：0202200221022cos12sin16sinsincos3(7)进行安全系数的转换时，各D-P屈服准则之间应采用相同的流动法则，也就是说要么都采用关联流动法则，要么都采用非关联流动法则。4与莫尔–库仑准则条件下安全系数的接轨问题目前，边(滑)坡治理工程中采用的稳定安全系数是基于莫尔–库仑准则的，因此，前述各种D-P准则条件下的安全系数与莫尔–库仑准则条件下的安全系数接轨的问题，本文提出：对于平面应变条件下的强度问题(比如边坡稳定安全系数、地基承载力等)，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则与莫尔–库仑准则等效，该准则分关联和非关联两种情况。采用非关联流动法则时(膨胀角0)，3sina，cosck(8)采用关联流动法则时(膨胀角=内摩擦角)：2sin33sina，2sin33cos3ck(9)也就是说，在平面应变条件下采用有限元强度折减法求边坡稳定系数时，采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则就相当于采用莫尔–库仑准则。实际上，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则就是在平面应变条件下根据与莫尔–库仑准则相匹配•4•岩石力学与工程学报2006年推导而得到的。式(9)最早是由Drucker-Prager提出的，在偏平面上该准则的屈服曲线是内切莫尔–库仑准则的圆。目前，ANSYS有限元程序采用的屈服准则为外接圆