《解三角形的实际应用举例》教学设计

课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。五、教学过程教学环节教学过程设计意图引言“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，上述方法存在特殊性，不能完全实施。今天我们就来学习更一般的在实践中使用正弦定理和余弦定理解决实际问题。通过引言，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣例题讲解基于例题变式讲解例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得ACBABsin=ABCACsinAB=ABCACBACsinsin=ABCACBsinsin55=)7551180sin(75sin55=54sin75sin55≈65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？解略：2akm例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC=)](180sin[)sin(a=)sin()sin(a启发式教学老师引导学生画图解题。体会数学建模的思想方法。对于例1的变式练习变式教学，使得课堂延展性增强ACBγδβαABDCBC=)](180sin[sina=)sin(sina计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=cos222BCACBCAC分组讨论：还没有其它的方法？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC=)sin(sinaAB=AE+h=ACsin+h=)sin(sinsina+h例4、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。仍然是距离问题，由测量长度变为测量高度，让学生感受不同类型的问题。解三角形在航海问题中的应用βαHBADEGC例题变式(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，AC=ABCBCABBCABcos222=137cos0.545.6720.545.6722≈113.15根据正弦定理,CABBCsin=ABCACsinsinCAB=ACABCBCsin=15.113137sin0.54≈0.3255,所以CAB=19.075-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile练习：（对例3的变式）在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。实际问题中需要掌握近似估计、运算通过变式，让学生体会该数学模型的在不同问题中的应用ABC解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-42sin310=)4180sin(30因为sin4=2sin2cos2cos2=23,得2=30=15在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(103+x)2+h2=302在RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15在RtACE中,tan2=xh310=332=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2=30x①在RtADE中，sin4=3104,②②①得cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m一题多解、挑战思维提升学生专研数学的兴趣课堂小结（采用提问形式，学生阐述，老师适当补充）1、解斜三角形应用题的一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。3、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。培养学生学习的主动性和学后反思的习惯及归纳总结的能力。六、课后作业1、必做题：①自学课本第三节中的4个例子，写出你的解题步骤②课本习题2-3A组第2、4题2、选做题：课本习题2-3B组第1、2题七、教学反思本节课，我是一些实例来探索关于解三角形在实际应用中的思维方法，具体解三角形时，所选例题突出了数学建模的思想及函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。