二次函数教案

二次函数中考复习专题教学目标知识与技能1.掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率2.掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向；熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。过程与方法1.学会总结归纳，把握知识点之间的联系，形成整体知识框架，对知识系统把握；2.在学习过程逐步渗透数学思想方法尤其是函数与方程、以及属性结合的思想，形成良好的思维习惯情感态度与价值观通过独立思考与探究，形成缜密的数学思维逻辑，体验数学之美教学重点二次函数的三种解析式形式二次函数的图像与性质教学难点二次函数与其他函数共存问题根据二次函数图像，确定解析式系数符号根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、数学知识及要求层次数学内容维度数学内容子维度数学能力维度二次函数1、二次函数的意义了解2、二次函数表达式掌握3、二次函数图象及其性质灵活应用4、根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴灵活应用5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题灵活应用6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解灵活应用二、近年二次函数考题及分值分布情况知识模块考察知识点分值题型命题预计二次函数图像与性质二次函数表达式、顶点坐标、开口方向、最值、对成型等2-3分选择、填空继续考察二次函数的图形与基本性质、利用待定系数法求解二次函数解析式；可能会更注重二次函数与方程、不等式、图形的相似、圆等知识点的综合考查二次函数图像的平移、二次函数、二次方程、不等式等综合运用5-8分解答题二次函数的应用二次函数解决简单实际问题、二次函数与几何、三角函数的综合应用10分解答题可能仍重视对二次函数的建模应用、二次函数中的动态问题与存在性问题探索性研究纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、综合性强。初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。2、分值较重。从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。3、覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。三、二次函数知识点1.二次函数的解析式三种形式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式2()yaxhk224()24bacbyaxaa交点式12()()yaxxxx2.二次函数图像与性质对称轴：2bxa顶点坐标：24(,)24bacbaa与y轴交点坐标（0，c）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点图像平移步骤（1）配方2()yaxhk，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴122xxx根据图像判断a,b,c的符号（1）a——开口方向（2）b——对称轴与a左同右异3.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=024bac0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；24bac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；24bac0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点yxO3.二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等【典型例题】题型1二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A．（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。○6若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。○7若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。○8若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。○9若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。○10若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。○11若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。题型2二次函数的性质例3若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不确定点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值再把横坐标值代入求出y1与y2的值，进而比较它们的大小【举一反三】变式1：已知12(2,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式2：已知12(0,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式3：已知二次函数2yaxbxm的图像与22yxxm的图像关于y轴对称，12(2,),(3,)qq是前者图像上的两点，试比较12qq与的大小题型3二次函数的图像例4如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图像时（）ADBC题型4二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例5、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）点拨：本题考查函数图象与性质，当0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．例6已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（）A．2B3C、4D、5点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a－2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现题型5二次函数的平移例7.将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)yxB．22(1)yxC．221yxD．221yx题型6二次函数应用销售利润类问题例8某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查A．B．C．D．1111xoyyoxyoxxoy10100A10100B10100510010CD反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售量为y件。⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。⑵如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价)本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。题型7二次函数与几何图形综合(面积、动点)例9已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C，，直线xm（2m）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、、为顶点的三角形与以AOC、、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．图2点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。【基础达标训练】一、选择题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）2.（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2yx的最小值是（）．yxOA．2B．1C．－3D．233.(2009年上海市)抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A．()mn，B．()mn，C．()mn，D．()mn，4.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数cbxaxy2的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴【】x…－1012…y…－147－247…A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧5.已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，则下列结论：0ac①；②方程20axbxc的两根之和大于0；y③随x的增大而增大；④0abc，其中正确的个数（）A．4个B．3个C2个D．1个6.二次函数cbxaxy2的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．21yyB．21yyC．21yyD．不能确定7.（2009烟台市）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）xyO1yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．11Oxy8.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。9.(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)yaxxa的对称轴是直线（）A．1xB．1xC．3xD．3x10.（2009年遂宁）把二次函数3412xxy用配方法化成