九章算术中的立体几何

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土.坚：坚实的土.壤：松软的土.【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.如图，底面为等腰梯形，上底20a尺，下底40b尺，高50h尺，侧棱1265l尺，所求体积()(2040)501265189750022abhVShl立方尺.【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积几何？【注释】垣:低矮的墙.【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？【注释】堑:护城河【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？【注释】堡壔:土筑小城.方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长16a尺，高15h尺，所求体积1616153840VShaah立方尺.【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的ablh体积是多少？【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r，周长c,高h，因为2cr,所以2cr,则所求体积22248112112412chVShrh(取3)立方尺.【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？【注释】方亭:正四棱台形建筑物.【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a，上底面的面积为1S,下底边长为b,下底面的面积为2S,高h，则所求体积12121()3VhSSSS,221305()33ababh立方丈.对于公式12121()3VhSSSS适用所有棱台或圆台计算体积.【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？【注释】圆亭:圆台形建筑物.【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r，周长为12Cr,面积211Sr，下底面圆的半径为R,周长为22CR,面积为22SR,高h.对于圆台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：12121()3VhSSSS，也可用上下底面圆的半径与高表示：221()3VhrRrR,也可用上下底面圆的周长与高表示2212121()12VhCCCC,所求体积为1912V立方丈.【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？【注释】方锥:正四棱锥.【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a,高为h.13VSh21272937047立方尺.【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为3丈5尺,高为5丈1尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为r,高为h.底面周长2Cr,底面积224CSr,于是体积13VSh22211()33212CChrhh6247512立方尺.【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？【注释】堑堵:底面是直角三角形直三棱柱.【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA垂直于底面ABC，ACBC.设底面直角ABC的边20ACa,186BCb,高为125hAA.体积VSh1120186254650022abh立方尺.【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？【注释】阳马:底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形，侧棱PA平面ABCD,设底面矩形的宽为5a,长为7b,高为8h.体积13VSh11280578333abh立方尺.【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求三棱锥的体积.如图(1)，在三棱锥SABC中，SA底面ABC,ACBC.图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.PABCDabhABCA1B1C1abh根据题意，5a,4b,高为7h.体积11115743332VShahb703立方尺.【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体EFABCD中,四边形ADEF,ABCD,EFBC均为等腰梯形，EF∥AD∥BC.ABF,CDE均为直角三角形，ABAF,CDDE.设下广EFa，上广ADb，末广BCc.高：EF到平面ABCD的距离为h，长：AD与BC的距离l.算法：1()6Vabchl采用割的方法推导计算公式.连接BE，BD,AE,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为1V,三棱锥BAED的体积为2V,三棱锥BDEC的体积为3V,则3V16clh，216Vblh，12VbVa，12aVVb,所以1216aVValhb,于是五面体的体积公式1231()6VVVVabchl.代入数据6a,10b,8c,7l,3h，代入公式得84V立方尺.SABCabhSABCahbSABCahb图（1）图（2）图（3）EFABCD下广a上广b末广cEFABCD图1图2【例18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？【注释】刍甍：盖上草的屋脊.刍：草；甍：屋脊.这里指底面为长方形的屋脊状的楔体.【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈，问它的体积是多少？【解析】本题是求底面为长方形的楔体（五面体）的体积.如图所示，在五面体EFABCD中，EF∥底面ABCD,底面ABCD是长方形，EF到平面ABCD的距离为h,BCa,ABb,EFc.算法：1()6Vbbcah采用割的方法推导计算公式.连接BE，BF,DF,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥ABDE的体积为1V,三棱锥BCDF的体积为2V,三棱锥BDEF的体积为3V,则1216VVabh，32VcVb，321166ccVVabhachbb,于是五面体的体积公式1231()6VVVVbbcah.代入数据4b,2c,3a,1h，得5V立方丈.【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈，高3丈，问它的体积是多少？【解析】如图所示，在六面体EFGHABCD中，面EFGH∥面ABCD且都为长方形，距离为h.设EFa，FGb，ABm，BCn.算法：1(2)(2)6Vhmanamb或1(2)(2)6Vhbnanbm.EFABCDabc图1hEFABCDabc图2ABCDEFGHabmnh图1ABCDEFGH图2采用割的方法推导计算公式.连接AF，BD,CF,DF,HF,ED.如图2,得六个三棱锥，设三棱锥ABDF的体积为1V,三棱锥BCDF的体积为2V,三棱锥CGHF的体积为3V,设三棱锥CHFD的体积为4V,三棱锥HEFD的体积为5V,三棱锥EAFD的体积为6V,则116Vmnh，216Vmnh，316Vabh，43VmVa，43mVVa41166mVabhbmha,516Vabh,65VnVb,61166nVabhanhb,于是六面体的体积公式1234561()6VVVVVVVmnhmnhabhbmhabhanh11()()(2)(2)66mnmnanababbm