数学文化——立体几何(22题)

数学文化——立体几何（22题）1、“堑堵”【编号第1题】1．【2016春•厦门校级月考】《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．4+2B．2C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，所以几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．【编号第2题】2．【2016•厦门模拟】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2B．4+2C．4+4D．6+4【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积．【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，所以几何体的侧面积S==4+4，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．2、商鞅铜方升【编号第3题】3．【2016•辽宁校级模拟】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.4【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解析】：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．3、鳖臑【编号第4题】4．【2015秋•厦门校级月考】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF=，从而（AE2+EF2）=（AF）2=，当且仅当AE=EF时，取“=”，解得当AE=EF=时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC=的值．【解析】：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF=，而（AE2+EF2）=（AF）2=，当且仅当AE=EF时，取“=”，所以，当AE=EF=时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC==，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．【编号第5题】5．【2015秋•萍乡期末】《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E﹣BCD中，蟞臑有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有【分析】分情况讨论：（1）当点E在PC中点时，证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（2）当点E在PA中点时：以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则可求BC，BE，EC三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（3）当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），可得四面体E﹣BCD不是蟞臑．（4）当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．【解答】证明：（1）当点E在PC中点时：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（2）当点E在PA中点时：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（，0，），可求：BC=1，BE=，EC=，三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（3）如下图当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），故四面体E﹣BCD不是蟞臑．（4）如下图当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4、羡除【编号第6题】6．【2016•上饶一模】在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABC、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是（）A．110B．116C．118D．120【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【分析】将几何体分解成一个直棱柱和两个相同的不规则几何体，将三个几何体改变位置组合成一个直棱柱进行计算．【解析】：过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为=15．棱柱的高为8，所以V=15×8=120．故选：D．【点评】本题考查了不规则几何体的体积计算，将不规则几何体补成规则几何体是常用解题方法．5、圆周率相关【编号第7题】7．【2012•湖北】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈【考点】进行简单的演绎推理．菁优网版权所有【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解析】：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．【编号第8题】8．【2016春•信阳月考】我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，所以r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，所以城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．【编号第9题】9．【2016•沈阳校级模拟】《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3B．3.14C．3.2D．3.3【考点】排序问题与算法的多样性．菁优网版权所有【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解析】：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，因为圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），所以V=×（202×4）=，所以所以π=3，R=，故选：A．【点评】本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．【编号第10题】10．【2016•山东校级一模】《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解析】：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48，所以r=≈8尺，又圆堢壔的高h=11尺，所以圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．6、牟合方盖相关【编号第11题】11．【2016•信阳一模】刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3﹣V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球=πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则=（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有【分析】计算出V方盖差，V正，即可得出结论【解析】：解：由题意，V方盖差=r3﹣V牟=r3﹣×××π×r3=r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=×=r3，所以==，故选：C．【点评】本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础【编号第12题】12．【2016春•江西校级月考】我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何