高三数学《立体几何中探索性问题的向量解法》

立体几何中:探索性问题的解法南京一中高三数学组张军利立体几何探索性问题常用以下几种方法1.猜想法:即先通过对空间的图形理解猜想点线面在某种特殊位置时可能会满足条件,然后再尝试证明.2.构造法:利用条件作出这个点,常常作面找线,作线找点3.向量法:假设存在,利用参数标记其位置,然后根据要满足的条件求出参数的值,从而判定是否存在,例1.1如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱上的一点，．（Ⅰ）试确定m，使得直线与平面所成角的正切值为；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP．并证明你的结论．1111DCBAABCDmCP1CC2311BBDDAPOD1C1CDABA1B1PG2如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.点F在线段PC上运动，当F在何处值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；E【存在判断型】3如图，在三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长a，侧棱长为，点D在棱A1C1上.1）若A1D=DC1，求证：直线BC1∥平面AB1D；2）是否存在点D，使平面AB1D⊥平面ABB1A1，若存在，请确定点D的位置，若不存在，说明理由a224如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，AB＝a，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．(I)当时，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值：(Ⅱ)是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为60°?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．2)0(FABFEDPE21【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.13132EFEMEFMsin53、如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，DP与AE夹角的余弦值为33。（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF⊥平面PCB？E(1,1,1)F(1,0,0)【位置探究型】[方法点评]引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.４．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．(1)当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；(2)是否存在点E、F，使A1C⊥面C1EF？x【位置探究型】1111111(1),,,(,0,),(0,,),(,,0),(,,0)(,,),(,,)()()()0AABADAAxyzBExBaaDaaEaxFaxaBFxaaDEaxaaBFDEaxaxaaa=-\=--=--\?-+-+--=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur以为原点分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设则有[解析].,11EDFBFE在何位置均有、无论因此x４．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．(1)当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；(2)是否存在点E、F，使A1C⊥面C1EF？【位置探究型】（2）11(,,),(0,,),ACaaaECaxa=-=-uuuruuur1(,0,),FCxa=uuur若A1C⊥面C1EF，则22()00aaxaaxaìï--=ïíï-=ïî得0a=，矛盾，故不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF[方法点评]立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.【位置探究型】１.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾.若得出矛盾则说明不存在.２.对于位置探究型问题，经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.【解法提练】谢谢指导!