函数的单调性与最值-课件

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必考部分第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.2函数的单调性与最值考纲展示►1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.考点1函数单调性的判断(证明)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2定义当x1x2时,都有______________,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有___________,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________上升的下降的(1)[教材习题改编]函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则()A.k12B.k12C.k-12D.k-12D(2)[教材习题改编]当k0时,函数f(x)=kx+m在R上是________函数.(填“增”或“减”)解析:当k<0时,函数f(x)=kx+m在R上是减函数.减单调性易错点:单调性是区间内的性质.函数f(x)=x2-1在定义域内________单调性.(填“有”或“没有”)解析:虽然函数在区间(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,但不能说函数在定义域内为单调函数,函数的单调区间是函数定义域的子集,定义域不一定是函数的单调区间.没有[典题1](1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是()A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]D[解析]f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,要使f(x)在[1,2]上为减函数,必须有a≤1,又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是减函数,所以a+11,即a0,故0a≤1.(2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.[解]解法一(定义法):设-1x1x21,f(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=ax2-x1x1-1x2-1,由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.解法二(导数法):f′(x)=ax′x-1x-12-axx-1′x-12=ax-1-axx-12=-ax-12.当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.[点石成金]判断函数单调性的方法(1)定义法:取值,作差,变形,定号,下结论.(2)利用复合函数关系:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.(3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减.(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.考点2求函数的单调区间单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数减函数区间D(1)[教材习题改编]函数f(x)=2x-1在[-6,-2]上的最大值和最小值分别是____________.(2)[教材习题改编]f(x)=x2-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间为________,f(x)max=________.-27,-23[1,4]81.常见函数的单调性:一次函数、二次函数、反比例函数.函数f(x)=-x2+2x的单调递增区间是_______________;函数y=1x的单调递减区间是______________________________.解析:根据二次函数、反比例函数的单调性可得.(-∞,1](-∞,0),(0,+∞)2.复合函数的单调性:同增异减.函数f(x)=log12(x2-1)的单调递增区间是____________.解析:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间,即(-∞,-1).(-∞,-1)[典题2](1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)=log12(x2-x-2)的单调递增区间为()A.-∞,12B.12,+∞C.(-∞,-1)D.(2,+∞)C[解析]由x2-x-20得x-1或x2,又u=x2-x-2在(-∞,-1)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,y=log12u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),故选C.(2)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间.[解]由于y=-x2+2x+1,x≥0,-x2-2x+1,x0,即y=-x-12+2,x≥0,-x+12+2,x0.画出函数图象如图所示.单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).[题点发散1]若将本例(2)中函数变为“f(x)=|-x2+2x+1|”,如何求解?解:函数y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞);单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2).[题点发散2]若将本例(2)中函数变为“f(x)=-x2+2|x|+1”,如何求解?解:由-x2+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2,即-1-2≤x≤1+2.根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+2].[点石成金]1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法[提醒]单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.2.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.[2017·天津模拟]函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A.0,12B.[a,1]C.(-∞,0)∪12,+∞D.[a,a+1]B解析:由图象知f(x)在(-∞,0]和12,+∞上单调递减,而在0,12上单调递增.又0a1时,y=logax为(0,+∞)上的减函数,所以要使g(x)=f(logax)单调递减,需要logax∈0,12,即0≤logax≤12,解得x∈[a,1],故选B.考点3函数单调性的应用函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有________;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(3)对于任意的x∈I,都有________;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥M[考情聚焦]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题的某一问中.主要有以下几个命题角度:角度一利用函数的单调性求最值[典题3](1)函数f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x1的最大值为________.[解析]当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.2(2)已知函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).①当a=1时,求函数y=f(x)的值域;②求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时x的值.[解]①当a=1时,f(x)=2x-1x,任取1≥x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-1x1-1x2=(x1-x2)2+1x1x2.∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值1,所以f(x)的值域为(-∞,1].②当a≥0时,y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;当a<0时,f(x)=2x+-ax,当-a2≥1,即a∈(-∞,-2]时,y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a,当-a2<1,即a∈(-2,0)时,y=f(x)在0,-a2上单调递减,在-a2,1上单调递增,无最大值,当x=-a2时取得最小值2-2a.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小[典题4][2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为()A.cabB.cbaC.acbD.bacD[解析]因为f(x)的图象关于直线x=1对称.由此可得f-12=f52.由x2x11时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵1252e,∴f(2)f52f(e),∴bac.角度三利用函数的单调性求解不等式[典题5]f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是()A.(8,+∞)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)B[解析]2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f(x(x-8))≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有x0,x-80,xx-8≤9,解得8<x≤9.角度四利用单调性求参数的取值范围或值[典题6](1)[2017·湖南师大附中月考]已知函数f(x)=-x2-ax-5,x≤1,ax,x1是R上的增函数,则a的取值范围是()A.[-3,0)B.(-∞,-2]C.[-3,-2]D.(-∞,0)C[解析]由题设可得a0,-a2≥1,a≥-1-a-5,解得-3≤a≤-2,故选C.(2)已知函数f(x)=a-2x,x≥2,12x-1,x2满足对任意的实数x1≠x2,都有fx1-fx2x1-x20成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2)B.-∞,138C.(-∞,2]D.138,2B[解析]由题意可知,函数f(x)是R上的减函数,于是有a-20,a-2×2≤122-1,由此解得a≤138,即实数a的取值范围是-∞,138.[点石成金]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽

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