等比数列的前N项和优秀教案

等比数列的前n项和一．教材分析1.在教材中的地位和作用在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。等比数列的前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算。2.教材编排与课时安排提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化公式应用（例题与练习）二．教学目标知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。三．教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。教学难点：公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。四．教学过程：（一）、复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。复习回顾例题1：na为等比数列，请完成下表除ns外的所有项1a2a3a4a……qnans127……212412……3……13答案如下：1a2a3a4a……qnans132327……313n12212312412……1212n3113213……13213n（2）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的。（二）、情境导入：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求。假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。怎样计算？请列出算式。探讨1：S=1+2+22+23+…+263,①注意观察每一项的特征，有何联系？探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项2S=2+22+23+…+263+264,②经过比较、研究，学生发现：（1）（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到:这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约6亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的结果，.而避免这个不幸的事情发生，正是我们这节课所要探究的知识.五、推进新课等比数列前n项公式的推导：1.错位相减法，11212111nnnqaqaqaqaaS①nqSnnqaqaqaqaqa11131211②①－②得：nnqaaSq111当1q时，得到qqaSnn111当q＝1，Sn=na1等比数列前n项和公式：qqaaqqanaSnnn111111注意：1.公比为1的情况2.已知1,,,,nnaqnas中的任意三项，可以求其他两项（知三求二）六、例题剖析例2：完善例1的表格例3：12，14，18…的等比数列(1)求前8项的和(2)求第4项到第8项的和解：（1）8,21,211nqa256255211)211(218nS（2）方法一（先求出4a，等价于求一个以4a为首项，12为公比的前5项和）)1(q)1(q646421s解：5,161314nqaa25631211)211(1615'S方法二：（83ss）解：83831111112222111122ss=31256七、小结：1.熟记等比数列前n项和的通项公式，重点掌握错位相减的方法。2.易错点：易忽略公比q=1的情况3.思想方法：类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般八．作业：1.已知等比数列na的前n项和48ns，260nS求3ns（并思考用不同的方法来解答这个问题）2.课本P58页1，2题