工厂选址问题(数学建模论文)

B题工厂选址问题姓名刘琦王杨袁欣学号201512150720161175572015121481专业交运城轨电气工程交运城轨电话号码181467217731829598476718297652546QQ1235093636114258159910967845321摘要本文针对仓库选址问题，在各城市间运输天数的限制下，建立整数线性规划模型，得到最少数量仓库的选址方案，同时考虑到消费者负担对选址的影响，重新建立多目标规划模型对选址方案进行改进，最后，分别建立服装和娱乐设施工厂为以上仓库供货。对于问题一，首先，我们将50个城市从1到50编号，分别以各个城市为起点，筛选出与它公路运输需要一天的城市，以这些城市编号作为集合元素得到50个集合。通过建立集合覆盖问题的0-1规划模型，找取能覆盖50个城市的最小数量集合，集合即代表修建仓库的城市。利用lingo软件求解，至少需要菲尼克斯、洛杉矶、亚特兰大、博伊西、芝加哥、印第安纳波利斯、雷诺、阿布奎基、布法罗、孟菲斯、达拉斯、里士满、西雅图、夏延、第蒙、波士顿、圣保罗、比林斯18个城市修建仓库。并对结果进行了全局最优解检验。对于问题二，我们将修建仓库问题转化为仓库数量最少和人均消费负担最小的多目标规划问题。通过线性加权法，将每一目标设置权重，将其转化为单目标规划问题，利用lingo编程得出最优解。得到这18个仓库的确切位置：伯明翰,菲尼克斯,小石城,丹佛,Wilmington,亚特兰大，雷诺，朴茨茅斯，阿布奎基，布法罗，哥伦布，波特兰，Dallas，盐湖城，第蒙，圣保罗，比林斯，继而得到每一仓库供应范围，根据每一仓库的服装娱乐消费之和相比较求得各仓库的规模比。并通过改变权重进行了灵敏度分析。对于问题三，要求为这些仓库建立一个娱乐设施工厂和服装工厂，建设工厂有运送成本低和竞争力大两个目标，最后都转换为要求工厂到仓库的总天数最小，而且距离消费额负担大的仓库天数越小越好。综合考虑这两个影响因素，建立最优化评价模型，利用MATLAB软件求解，得出服装工厂和娱乐设施工厂均在第49个城市KansasCity修建。我们利用相关性分析对每个仓库的服装消费额和娱乐设施消费两个变量进行比较，得出其相关性系数为0.999，对两个工厂位于同一个城市的原因进行了解释与验证。关键词：集合覆盖、0-1整数线性规划、MATLAB、lingo、多目标规划、线性加权法2一、问题提出1.知识背景随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个国家各个地区修建自己的工厂进行发展，而工厂选址在某种程度上与企业的发展与经营关系密切。合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂选址显得极为重要。本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。2.需要解决的问题某企业计划在美国的50个主要城市销售自己生产的产品，销售在网上进行，包括某种娱乐设施和某类服装。现需要在这50个城市中的一部分城市建立仓库，仓库选址时不仅要求网上的订货能及时送达给客户，还要考虑消费税对消费者的影响，我们通过建立数学模型解决下面三个问题：（1）为了使网上的订货在一天内送达，通过建立数学模型求出至少需要在几个城市建仓库，并求出在哪几个城市建立仓库。（2）由于网上购物需要按仓库所在地缴纳消费税，企业建仓库时要考虑为消费者减少消费税以保持企业产品的竞争力。通过建立数学模型求解，如何在尽可能少建仓库，订货要保证一天内送达的基础上，尽可能为消费者减轻消费税负担，确定应该在哪几个城市建立仓库，并求出各仓库的规模比和它的供应范围。（3）需要在美国建立一个娱乐设施工厂和一个服装厂为这些仓库供货，通过建立数学模型确定这两个厂应该分别建在哪里。二.基本假设1.假设不会因天气、路况等随机因素而影响运输天数。2.假设由多个仓库供应的城市，其服装和娱乐设施消费供应量由这些仓库平均分担。3三.符号说明符号意义符号意义ic第i个城市irk第i个城市的人口数量jS第j个仓库所覆盖的城市集合jf第j个仓库覆盖范围内的人均消费税jx是否选择第j个集合1z数据标准化处理后的仓库数量ifz第i个城市的服装消费2z数据标准化处理后的各仓库平均人均消费税iyl第i个城市的娱乐设施消费ijd第i个城市到第j个仓库的天数1js第j个仓库（第j个城市）的服装消费税率jkf第j个仓库服装消费占所有服装消费的比重2js第j个仓库（第j个城市）的娱乐设施消费税率jky第j个仓库服装消费占所有娱乐设施消费的比重四．问题分析4.1问题背景随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个国家各个地区修建自己的工厂进行发展，而工厂选址在某种程度上与企业的发展与经营关系密切。合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂选址显得极为重要。本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。4.2分析问题问题一针对仓库选址问题，在各城市间运输天数的限制下，将其转换为集合覆盖数学模型，从而通过线性规划求得全局最优解，得到最少数量仓库的选址方案。对于问题二，在问题一的基础上考虑消费者负担对选址的影响，建立多目标规划模型对选址方案进行改进，重新得到了仓库建立的最优解。对于问题三，我们确定设立工厂的指标，建立了最优化评价模型，最终分别确定服装和娱乐设施工厂的选址位置。4图4-1总问题分析图4.3数据预处理1．运输天数的补全附件1中只为各城市单向运输天数表，补全后应该为一个对称矩阵，我们通过MATLAB编写程序，得到补全后的运输天数表如下：表4-1补全后的运输天数表到达1234950出发伯明翰菲尼克斯小石城堪萨斯城比林斯1伯明翰1422菲尼克斯413„„433小石城231„„24„„„„„„„„„„„„„„„„49堪萨斯城2421350比林斯534312.特殊数据的处理观察表格中数据我们可以得到第4个城市和第5个城市以及第30个和第31个城市均属于同一个州，我们将该州的数据均分作为该州属下各城市的人口和消费数据。模型的建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.1.1问题一的分析问题一要求我们在网络订货一天送达的条件下，确定仓库至少需要建立的数5量以及仓库建立的城市。首先，我们将50个城市从1到50编号，以每一个城市作为集合名称，并以与它运输天数只为一天的城市作为集合元素。仓库选址方案即用最少的集合覆盖所有的城市，进而转换为集合覆盖问题。引进0-1变量来表示是否选择该集合，即是否在它所代表的城市建立仓库。5.1.2问题一模型的建立a.城市编号的确定按照附录1给定的城市顺序，对城市进行编号，令第i个城市为,1,2,,50ici，编号部分结果如下：表5-1城市编号表编号城市名称1c伯明翰2c菲尼克斯„„„„49c堪萨斯城50c比林斯b.集合的确定对于第j个城市jc，在补全的天数矩阵中找出与它天数为1的城市，为集合jS的元素。列举部分集合如下；111029414248=,,,,,;Scccccc22=;Sc3329=;Scc，┇4848=;Sc4949=;Sc5050=;Scc.集合覆盖模型的建立6令集合,jASjJ，假设集合F为集合A的一个集合覆盖，那么A中的每一个元素都至少包含在F，即被F覆盖住[1]。对于每一子集,1,2,,50jSj，我们引入决策变量：1,0,jjJxjJ（5-1）则可建立集合覆盖问题的0-1规划模型：501:min1;1,2,50.0,1;1,2,,50ijjjjjcsjxxistxj，（5-2）5.1．3问题一模型的求解a.计算步骤：Step1：令:=,:1,2,,;jjJSSjmStep2：若,jjJSS则令***1=max,:,:1,2,,jjjjjjmSSJJjSSSjm否则，转Step3；Step3：输出集合覆盖jSjJb.计算结果：我们选用lingo软件（程序见附录1）对其进行计算，计算结果为：表5-2仓库修建位置表城市编号城市名城市编号城市名城市编号城市名菲尼克斯雷诺西雅图洛杉矶阿布奎基夏延亚特兰大布法罗第蒙博伊西孟菲斯波士顿芝加哥达拉斯圣保罗印第安纳波利斯里士满比林斯5.1.4问题一结果的分析与验证a.结果分析由于lingo求解时只得能到一组解，我们可以增加一些限制条件来判断是否存在其他最优解，如上述得到的仓库修建方案中有2号城市，我们在求解时可以4c10c11c12c13c15c18c19c29c31c34c35c38c39c45c47c50c2c7规定2号城市不修建仓库，即20x，重新进行求解，并多次改变限制条件，可得到多个解（部分解列举如下），结果发现，仓库的组合方式会发生变化，但是仓库的个数仍为18个。b.结果验证求解结果是一个全局最优解，但不是唯一解，我们任意选取其中一组解去验证18个仓库是否为全局最优解，验证方案如下：任意选择17个城市修建仓库，判断能否实现集合覆盖，即在一天内将网上的订货送达；如果任意17个城市存在实现集合覆盖的方案解，说明18个仓库不是全局最优解；如果任意17个仓库不存在实现集合覆盖的方案解，说明18个仓库为最少实现集合覆盖的方案解。经过检验，我们发现问题一求解得到的为全局最优解，即至少需要在18个城市修建仓库。5.2.1问题二模型的分析第二问在第一问的基础上，还需要考虑减少消费者承受的消费税负担，那么问题转化为如何修建最少的仓库和保证最低的消费税负担，进而我们可以建立多目标规划的模型，我们为每一个目标赋予一个权重系数，利用线性加权法把多目标模型转化成单一目标的模型。5.2.2问题二模型建立由问题二知存在建立最少的仓库和最低的消费税负担，所以我们存在两个目标函数，我们先分别进行考虑。a.消费税负担的衡量对于消费者来说，他在意的是自己购买物品时所需要额外承担的消费税，故我们用人均消费税来衡量消费者承担的消费税负担。假设在第i个城市修建仓库，计算该仓库覆盖范围内的人均消费税jf消费税。:::12ijijijijijicSicSjiicSfzsylsfrk(5-3)其中：ifz为第i个城市的服装消费，1,2,im，iyl为第i个城市的娱乐设施消费，1,2,im，ic为第i个城市，1,2,im，1js第j个仓库（第j个城市）的服装消费税率，1,2,jn，82js第j个仓库（第j个城市）的娱乐设施消费税率，1,2,jn，irk为第i个城市的人口数量，1,2,im，jS为第j个仓库（第j个城市）所覆盖的城市集合，1,2,jn，部分结果如下表所示：表5-3各仓库的人均消费表城市编号城市人均消费标准化后的数据1cBirmingham7.41E-050.3776183642cPhoenix0.0001100220.5603532583cLittlerock0.0001253040.638186041……………………49cKansasCity8.37E-050.42641231750cBillings00b.多目标规划模型的建立在问题一的基础上，我们可以得到建立最少仓库的模型，有：501:min1,1,2,50.0,1,1,2,,50ijjjjjcsjxxistxj，（5-4）如果建立了若干个仓库，那么可以通过求这些仓库的平均人均消费税来表示表示整体的最低消费税负担，由（5-3）可以建立模型如下：5012501:min1,1,2,50.0,1,1,2,,50ijjjjjjjjcsjfxzxxistxj，（5-5）为了统一量纲，方便多目标规划模型的建立，我们首先对仓库覆盖范围内的人均消费税jf进和仓库数量进行数据标准化处理，采用的方式为“最小最大标准化”的方法，通过该方法将原数据标准化映射成在区间[0,1]的新数据，标准化公式如下：可知仓库修建最大值maxck为50，最小值minck为18，