外接球与内切球模型总结

外接球与内切球（理）1.掌握球体的表面积与体积的计算公式，会利用相应公式求解球体的表面积与体积的计算；2.掌握圆柱体与圆锥的外接球，并学会在圆柱和圆锥体的外接球延伸到柱体以及锥体的外接球，理解与掌握多面体外接球的计算原理；3.掌握多面体的内切球的计算原理，学会利用相应公式求解多面体内切球的相关问题.1.外接球（1）侧棱垂直于底面的几何体的外接球.①圆柱的外接球：如下图所示，在圆柱1OO中，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，AB为圆柱底面圆的一条直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段AB的中点，设球的半径为R，则22222rhR；②直棱柱的外接球：可以将棱柱的外接圆柱1OO作出来，则直棱柱的外接球可转化为外接圆柱的外接球，设r为底面外接圆的半径，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则222rh22R，若直棱柱为直三棱柱，其底面外接圆的直径可以通过正弦定理进行求解；③直棱锥的外接球：如下图所示，可将直棱锥的外接直棱柱作出来，再可将其外接圆柱作出来，设r为底面外接圆的半径，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则22222rhR；CBAO1OO1O④有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如下图所示，三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，可在平面PAC内作AS垂直于AC交PAC的外接圆于点S，则三棱锥PABC的外接球与三棱锥SABC的外接球为同一个球，设PAC的外接球的半径为r，则222SArAC，设ABC的外接圆半径为r，外接球的半径为R，则22222rSAR；⑤长方体的外接球：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则长方体的体对角线为长方体外接球的一条直径，设外接球的半径为22222Rxyz；⑥对棱相等的三棱锥：如下图所示，在三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC，可作三棱锥ABCD的外接长方体，设长方体的长宽高分别为x、y、z，外接球的半径为R，则222ABxz，222ACxy，222ADyz，则22222RxyzO1OSCBAPzyxDCBAzyx2222ABACAD，也就是说，对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个点出发的三条棱的平方和的一半；⑦特殊三棱锥的外接球：三棱锥ABCD中，90BACBDC，则棱BC即为其外接球的直径，棱BC的中点为外接球的球心.（2）侧棱相等的锥体的外接球①圆锥的外接球：半圆O中，AD为半圆O的直径，B为半圆O上异于点A、D的一点，将半圆O绕着直径AD旋转一周，得到两个圆锥拼接的几何体内接于球O，设球O的半径为R，在直角ABD中，由射影定理可得2ABADAE，在圆锥AE中，对应的有：2R2母线高，若圆锥的高未知，圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高22r母线求得；②侧棱相等的棱锥的外接球：对于侧棱相等的棱锥，可作其外接圆锥，则此棱锥的外接球和其外接圆锥的外接球是同一个球，设外接球的半径为R，棱锥的侧棱长为l，高为h，底面的外接圆的半径为r，则22hlr，22222llRhlr.ODCBAEDCBAO（3）一般多面体的外接球：对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为,,xyz，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.2.多面体的内切球：对于多面体的外接球，设其内切球的球心为O，连接多面体各顶点与球心的连线，将多面体分割为若干个棱锥，多面体各个面的面积分别为1S、2S、3S、、nS，内切球的半径为r，球心O到各个面的距离均为r，设多面体的体积为V，多面体的表面积为S，则123123111111333333nnVrSrSrSrSrSSSSrS，于是可得3VrS，对于柱体（圆柱或直棱柱）的内切球，还应该分析出柱体的高等于内切球的直径.附注：设球的半径为R，其表面积为24SR，体积为343VR.O