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1/6第二单元20以内的退位减法一、教学目标1．学生能借助操作、画图等方式，理解20以内退位减法的算理，掌握20以内退位减法的基本方法，能熟练、准确地口算20以内的退位减法。2．使学生初步学会用加法和减法解决简单的实际问题。3．通过数学学习，使学生学会与他人合作与交流，体验数学与日常生活的密切联系，感受数学在日常生活中的作用。二、内容安排及其特点1．教学内容和作用本单元的学习内容主要有两个：一是十几减几需要退位的减法，简称“20以内的退位减法”；二是“解决问题”，主要是用“20以内的退位减法”和以前学过的加法解决简单的实际问题。教材内容安排如下。20以内的退位减法对进一步学习多位数计算和其他数学知识，与20以内的进位加法同等重要，都是最基础的知识。因此，学生学习这部分内容时，必须在理解算理的基础上学会计算方法，并通过合理的练习达到一定的熟练程度，切实为以后的学习打好基础。解决问题的教学，继续让学生经历解决问题的过程，探索解决问题的方法，积累解决问题的经验，既有利于学生进一步领会减法的含义，又可以为发现和解决稍复杂的问题打下基础，逐步提高学生发现并解决问题的能力。本单元的计算分3个部分进行编排，即十几减9，十几减8、7、6和十几减5、4、3、2，其中十几减8、7、6又编排为十几减8和十几减7、6两个例题，共4个例题。例1和例2的编排大致分为4个层次：第一，创设实际问题的情境，2/6列出减法算式；第二，让学生动手操作或画图，为理解算理、形成算法积累感性经验；第三，将操作或画图的过程用语言表述出来，并用算式记录思考的过程；第四，通过交流，体现算法多样化，使学生知道可以用“破十法”“连减”“想加算减法”等多种方法计算20以内的退位减法。例3设计为“学生观鱼图”，通过引导学生从不同角度进行观察，列出有联系的两道减法算式，教材中呈现了用“破十法”和“想加算减法”计算的过程，允许学生用自己喜欢的方法进行计算，又通过在一道加法算式下面写出两道相应的减法算式，使学生体会到“想加算减法”比较快捷，而且能同时计算出两道有联系的减法算式的结果。例4在允许学生自主选择计算方法、的基础上，重点引导学生用“想加算减法”计算十几减5、4、3、2的式题，这一点在“做一做”中有着明显的体现。在解决问题部分，教材安排了两个例题，都是用减法解决的实际问题。两道例题的编排都保持了一年级上册教材中解决问题的编排特色，即突出了解决问题的一般步骤：明确问题——计划与解决——回顾与反思。其中，例5是有多余条件的“求另一个加数”的问题，需要选择有效的信息解决问题，并在“回顾与反思”环节提供了检验的方法。例6是用减法解决“比多少”的问题，包括“求一个数比另一个数多几”和“求一个数比另一个数少几”两种情况。2．教材编排特点(1)延长了20以内退位减法的学习过程。实验教材在20以内退位减法的编排中，分为十几减9和十几减几两个部分，共2个例题；修订后的教材将这部分内容分为十几减9、十几减8、7、6和十几减5、4.3、2三个部分，共4个例题。这样编排，既与20以内进位加法的编排保持一致，又体现了学习知识和形成技能的反复认知过程。对北京地区部分学生（一年级第二学期末）调研结果显示：学生在20以内退位减法的计算中，错误率最高的是十几减8的题目，如13－8、17－8、14－8等；其次是十几减7的题目，如14－7、13－7等。学生从理解算理、掌握算法到形成技能，需要有一个逐步熟练的过程。教材将十几减8和十几减7、6作为独立的例题进行教学，既延长了学生20以内退位减法的学习过程，使学生有比较充分的时间认识、理解和训练，又关注了学生学习中的实际问题和实际需求。(2)尊重学生的个体差异，体现计算方法多样化。3/6教材在4个计算例题的编排中，都体现了算法多样化的教学理念。在例1、例2和例3中，教材都呈现了两种不同的计算方法，例4中用小精灵的问题“你是怎样计算的？”鼓励学生用自己喜欢的方法进行计算。而20以内退位减法的多种计算方法中，“破十法”和“连减”的方法都是从减法的意义出发进行思考的，学生通过操作活动，能直观地理解算理、形成算法。但是这两种方法思考的过程比较复杂，学生至少需要两步思考——先减再加或先减再减。相比较而言，“想加算减法”简捷省时，但它也最难，需要学生从加、减法之间关系的角度进行思考。而且，这种方法不仅需要学生对20以内的进位加法很熟练，同时要具备一定的推理能力。并且，学生在第一次接触到这种方法时很难自发想到。鉴于此，教材这样的编排，允许学生根据自己的兴趣、能力和题目的不同，选择适合自己的方法进行计算，给学生留出了较大的自主选择的空间。(3)突出了对学生分析和解决问题能力的培养。《标准(2011)》在课程的总目标中指出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”基于此，教材在解决问题的编排中遵循了这项要求。具体到本单元，则是在学生初步掌握解决问题一般步骤的基础上，用两个例题突出了对解决问题策略的研究，从而逐步实现增强学生分析和解决问题能力的目标要求。例5提供的信息中，出现了多余的条件，学生在用操作、画图或符号表示问题情境的过程中认识到，有些条件与条件、条件与问题之间是有联系的，有些条件与问题之间是无关联的，从而学会选择有效的信息解决问题。“回顾与反思”环节，教材提供了检验解答结果是否正确的方法，使学生学会根据问题中的数量关系用加法检验减法问题的正确性。例6是用减法解决“比多少”的问题，具有一定的难度，教材提供了画图的策略，帮助学生理解用减法计算的道理。这些具体方法与策略的呈现，可以有效地提高学生分析问题、解决问题的能力。(4)渗透了函数、统计、转化等数学思想。教材在编排中，注重了对数学思想与方法的渗透。如练习二中的第3题，例2下面“做一做”中的第3题，练习三中的第2题，练习四中的第3题等，都体现了对函数思想的渗透。练习六中第8题让学生初步接触统计表。另外，在例6的编排中，体现了转化的思想与方法。在学生理解“求一个数比另一个数多几”4/6用减法计算的基础上，将“求一个数比另一个数少几”的问题，转化为“求一个数比另一个数多几”的问题来解决，既体现了“转化”的数学方法，又减轻了学生学习的负担。三、教学建议(1)提高20以内进位加法的口算能力，为正确、熟练应用“想加算减法”做准备。20以内的进位加法不但是用“想加算减法”计算20以内退位减法的依据，也是今后学习多位数计算的重要基础。由于这是学生上一个学期学习的口算内容，到本学期时计算的熟练程度会有一定的下降，因此，教师必须通过相应的练习，提高学生的计算能力，为正确、熟练地应用“想加算减法”做准备。对20以内进位加法计算的巩固与提高，可以根据本班学生的实际情况，通过以下几个层次进行。第一，结合具体题目与直观学具，进行算理与算法的回顾。第二，对20以内进位加法的36道题进行随机的口算练习，并针对易错题目重点练习。第三，填空练习，如8＋□＝13,5＋□＝11等。第四，拆数练习，如12＝10＋□＝9＋□＝□＋□……这样的训练，不但能提高学生20以内进位加法的口算能力，为应用“想加算减法”作好准备，还能培养学生思维的灵活性。(2)通过多种表征方式之间的相互转化，帮助学生理解算理。在修订后的教材中，这部分内容的编排加强了学生对于算理的理解，突出体现在多种表征方式的相互转化上。布鲁纳认为，在人类的智慧生长期，有3种表征系统在起作用，且p动作表征、表象表征和符号表征。Lesh在布鲁纳表征系统的基础上，再增加两种表征：口头语言表征和现实情境表征。有学者认为，要获得真正意义上的理解，就要灵活地实现五种表征方式之间的转化。基于一年级学生的认知特点，教师可以引导学生通过摆一摆、圈一圈、说一说、填一填等活动，进行“动作或图形表征”，“口头语言表征”和“数学符号表征”之间的相互转化，帮助学生理解算理。如教学例1时，教师在提出“9＋4＝□”的问题后，可以先让学生用学具摆一摆，通过直观帮助学生思考并将思考过程表征出来；然5/6后让学生说说自己是怎么想的，进行口头语言表征；最后指导学生在算式下面注出口算过程图，进行数学符号表征。通过上述三种表征方式的转化，实现学生对算理的真正理解。(3)设计内容丰富、形式多样的练习，提高学生的运算能力。20以内退位减法的计算与20以内进位加法的计算一样，是学生必须掌握的基本功之一。《标准(2011)》不但在评价建议中提出了到学期末每分钟能做8～10题的目标，而且将发展学生的“运算能力”作为数学课程的重要内容。因此，教师应有计划、有目的地组织并指导学生进行练习，不但要关注学生的计算是否正确、迅速，还应有意识地培养学生的运算能力。运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。在教学完20以内的退位减法后，教师可以组织学生针对不同的题目，交流各自不同的计算方法，并加以比较和优化，使学生体会到：同是退位减法，由于参与运算的数据不同，我们可以选择不同的计算方法，从而能逐步做到合理、灵活地进行计算。对部分一年级学生的调查研究表明，学生在计算十几减9、十几减8时，更喜欢用“破十法”，用这种方法计算的正确率也相对较高；计算十几减7、6、4、3、2时，更喜欢用“想加算减法”；而计算十几减5时，用“破十法”和“想加算减法”的人数基本相当。不同地区、不同学生对不同算法的选择会不完全相同，关键是帮助学生养成灵活计算的意识，提高学生的运算能力。在训练了一段时间后，应筛选数目比较大和经常出错的题目，如17－8、14－6等，进行有针对性的练习，稳步提高口算水平。在此基础上，还可以安排加法和减法的对比练习，以及一些找规律的练习等。除了练习内容的丰富外，教师还应不断变换练习的形式，如找朋友、开火车、接力赛、对口令、送信等。另外，还可以进行“听算练习”，使学生不仅能视算，而且在听到两个数相减时也能很快地说出得数。(4)有效运用画图策略，帮助学生分析和解决问题。著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中，对“如何理解题目”有这样经典的阐述：“未知量是什么？已知数据是什么？条件是否足以确定未知量？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号。”由此可见，画图既可以将学生对题目的理解与认识外显出来，又可以将现实情境抽象为数学模型，便于分析6/6和解决问题。基于这样的认识，教师在解决问题的教学中，首先应让学生明确题目中的条件和问题，并用图（表、符号或操作等）将题目中的条件和问题表示出来。通过图，教师可以清楚地了解学生是否理解了题目、还存在哪些问题、是否实现了从现实情境表征到图形表征的转化等。然后教师应指导学生借助图形进行分析，选择合适的方法加以解决，并用恰当的方式表达出解决的过程，实现图形表征到符号表征的转化。接着，可以让学生再次结合图，说明解答过程中各部分表示的意义，实现符号表征到语言表征的转化。最后，教师要组织学生回顾和反思，让学生感受画图策略在分析问题、解决问题中的重要作用。(5)建议用13课时教学。