一元二次方程课件ppt

一元二次方程教学目标：•一元二次方程概念•解一元二次方程的方法•一元二次方程应用题一元二次方程概念•一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．一元二次方程概念•只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程特点•（1）都只含一个未知数x；•（2）它们的最高次数都是2次的；•（3）都有等号，是方程．一元二次方程的一般形式．•任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式．•一个一元二次方程经过整理化成后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．20(0)axbxca20(0)axbxca例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．•分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．•解：去括号，得：•40-16x-10x+4x2=18•移项，得：4x2-26x+22=0•其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．•分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．•解：去括号，得：•x2+2x+1+x2-4=1•移项，合并得：2x2+2x-4=0•其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．应用拓展求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．•分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．•证明：m2-8m+17=（m-4）2+1•∵（m-4）2≥0•∴（m-4）2+10，即（m-4）2+1≠0•∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．20(0)axbxca第二课时•1．一元二次方程根的概念；•2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．一元二次方程的根．•为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．直接开平方法•形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，•注意：若b0，方程无解2()(0)xabbxabxabxab例题：•将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（）•A、B、••C、D、3)3(2x6)3(2x3)3(2x12)3(2x因式分解法•一般步骤如下：•①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；•②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；•③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；•④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。•例题：解方程041132xx配方法•用配方法解一元二次方程的一般步骤•①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；•②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；•③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；•④用直接开平方法解变形后的方程。•注意：当时，方程无解20(0)axbxca2()(0)xmnn0n例题：•将方程配方后，原方程变形为（）•A．B．•C．D．0142xx3)2(2x3)4(2x3)2(2x5)2(2x公式法•一元二次方程的求根公式：（）•一般步骤：•①将方程化为一般形式•②确定方程的各系数a，b，c，计算的值；•③当，将a，b，c以及的值代入求根公式，得出方程的根20(0)axbxca242bbacxa240bac20(0)axbxca24bac240bac24bac242bbacxa注意:•①当时，方程无解；•②公式法是解一元二次方程的万能方法；•③利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；240bac24bac一元二次方程的根的判别式•一元二次方程的根的判别式△＝•当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；•当△＝0时，方程有两个相等的实数根，•当△＜0时，方程没有实数根．20(0)axbxca24bac韦达定理（根与系数关系）•（1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：•+＝；＝可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。•*实根与虚根。•（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q•（3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．一元二次方程的应用•列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似•①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；•②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；•③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。•④“解”就是求出说列方程的解；•⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。1、下列式子哪些是方程？2＋3＝53x＋25x＋3＝18x－2y＝5没有未知数不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程213x不是等式方程的本质特征是什么？2、我们学过哪些方程？•一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。一元一次•问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？•问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？x（x＋10）问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，则长为（x＋10）米，可得方程：设未知数长×宽＝面积相等关系x（x＋10）=900•去年底：5•今年底：5＋5x＝5（1＋x）•明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x•＝5（1＋x）（1＋x）•＝5（1＋x）2•问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册。求这两年的年平均增长率。•解：设这两年的年平均增长率为x,•根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2注意：每年都是在上一年的基础上增长！•整理得：x2＋10x－900＝0（1）5x2＋10x－2.2＝0（2）特征（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0)特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0•练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。3523xx42x212xxx22)2(4xx不是是不是不是讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0会出现什么情况？b、c能不能为0？ax2+bx+c=0（a≠0)ax2+bx+c=0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0一元二次方程的项和各项系数练习1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：方程二次项系数一次项系数常数项0322xx0532x032xx21－330－51－302、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：2312xx）（22372xx）（0)2(3)12(3xxxx）（4)5(3)1(24xxx）（3x2－1x－2=02x2－7x＋3=01x2－5x＋0=02x2－5x－11=0友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。拓展练习：•1、关于x的方程ax2—2bx＋a＝2x2,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？•解：移项：ax2—2bx＋a－2x2＝0•合并同类项：（a－2）x2—2bx＋a＝0•所以，当a≠2时是一元二次方程；•当a＝2，b≠0时是一元一次方程；2、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。•什么叫方程的根？•能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。•解：把x＝2代入原方程得：•(m－1)×22＋3×2－5m＋4＝0•解这个方程得：m＝63、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。01)121mmxxmm（•分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，•解之得，m=1或m=－1，•又因二次项系数m＋1≠0，即m≠－1，•所以m=1。温馨提示：注意陷井二次项系数a≠0！若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．•已知关于x的方程（k2－1）x2＋（k＋1）x－2＝0．（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出它的根；（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常数项．二次函数y=ax2的图象和性质1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数？①2xy42312xxy⑤12xxy④2xxy③xxy12②你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…-3-2-10123…y=x2……9411049xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?2xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：2xyxyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？xy=-x2x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…在学中做—在做中学做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限