重庆邮电大学信号与系统课件第3章1

2019/10/2通信与信息基础教学部1信号与系统第三章通信与信息基础教学部2连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法，这种方法以傅里叶（Fourier）变换理论为工具，将时间域映射到频率域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的密切关系。从而得到信号和系统的频谱、带宽以及无失真传输等重要概念本章还将详细介绍通信和信息科学中极其重要的调制定理和取样定理通信与信息基础教学部3第三章信号与系统的频域分析3.1信号分解为正交函数3.2连续周期信号的傅里叶级数3.3连续周期信号的频谱与功率谱3.4连续非周期信号的频谱－傅里叶变换3.5傅里叶变换的性质3.6LTI连续系统频域分析3.7LTI连续系统频响3.8取样定理通信与信息基础教学部4傅里叶傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier，1768～1830）生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿。最早使用定积分符号，傅立叶级数的（三角级数）创始人。1817年当选为巴黎科学院院士1807年，他向科学院呈交了一篇题为“热的传播”的论文。未能发表。1807年，提交了论文“热在固体中的运动理论”，获得巴黎科学院颁发的奖金。但该文未能正式发表。傅里叶编写了《热的解析理论》，于1822年出版。《热的解析理论》，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过的重要历史文献，是一部划时代的经典性著作。通信与信息基础教学部53.1信号分解为正交函数函数的正交通信与信息基础教学部6函数的正交矢量的正交1v2v如果两个矢量和垂直(正交)，则有1v2v1212cos0vvvv对于一个二维的空间，相互垂直的两个向量可以作为这个空间的基矢，构成正交完备坐标系。1v2vV1121Vvav2222Vvav对于该二维空间中的任意矢量，其坐标为对这两个正交矢量的分解（a1，a2）：V通信与信息基础教学部7121222212,....nnnVvVvVvaaavvv对于n维空间，同样可以用ｎ个互相正交的矢量用这种方式来表示任意矢量。只要指定坐标系，我们只要知道任意矢量的坐标就可以确定这个矢量。1niiiVav1vvｎ通信与信息基础教学部8可把矢量正交的概念推广到函数或信号如果定义在区间实函数和有：1()t2()t2112()()0ttttdt则称和在区间相互正交。1()t2()t12()tt12()tt在区间内，若实函数集满足以下关系则此实函数集为正交函数集。),(21tt(),(0,1,2,)itin21()()0tijtttdtij21()()tiiitttdtK通信与信息基础教学部9若实函数集是区间内的正交函数集，且除外不存在满足以下关系则此函数集为完备正交函数集。),(21tt(),(0,1,2,)itin21()()0tittxtdt()xt()it()it通信与信息基础教学部10用正交函数表示信号在ｎ维矢量空间中，任一矢量可分解为ｎ个正交矢量的线性组合。同样可推广到函数空间设在区间构成了一个完备正交函数空间，则任一函数可用它们的线性组合表示),(21tt(),(0,1,2)iti11221()()()...()...()nniiiftctctctct21212()()()ititittfttdtctdt通信与信息基础教学部11由积分可知111,cos,sinntnt2112cossin0TTntmt2112,coscos20,TTTmnntmtmn2112,sinsin20,TTTmnntmtmnt在一个周期内，n=0,1,....,是一个完备的正交函数集通信与信息基础教学部123.2连续周期信号的傅里叶级数以Ｔ为周期的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫勒条件：在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个极大值点和极小值点；f(t)在一个周期内绝对可积。则f(t)可展开为如下三角型傅立叶级数：1000)sincos()(nnntnbtnaatf22()TTftdt通信与信息基础教学部13三角形式傅里叶级数1000)sincos()(nnntnbtnaatf2/2/0)(1TTdttfTa),3,2,1(cos)(22/2/0ntdtntfTaTTn),3,2,1(sin)(22/2/0ntdtntfTbTTn其中称为基本角频率T/20nnba,称为傅里叶系数通信与信息基础教学部14三角形式傅里叶级数100)cos()(nnntnAatf22nnnbaA)(nnnabarctg其中为信号的直流分量0a)cos(0nntnA为信号的n次谐波分量任何一个满足狄里赫勒条件的周期信号都可以分解为一个直流分量和许多谐波分量之和。1000)sincos()(nnntnbtnaatf通信与信息基础教学部15信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系f(t)为偶函数:f(t)＝f(-t)f(t)为奇函数:f(t)＝-f(-t)无正弦项，即bn=0无常数项和余弦项，即a０=0，an=01000)sincos()(nnntnbtnaatf/20/22()cosTnTaftntdtT/20/22()sinTnTbftntdtT--------正交的奇函数相叠加不可能出现偶函数。--------正交的偶函数相叠加不可能出现奇函数通信与信息基础教学部16信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系f(t)为偶谐函数:f(t)＝f(tT/2)1000)sincos()(nnntnbtnaatf/20/22()cosTnTaftntdtT/20/22()sinTnTbftntdtT原波形移动T/2与原波形重合，这种函数称为偶谐函数。偶谐函数的付氏级数中无奇次谐波项，即a２k+1=0，b２k+1=0，只含有偶次谐波分量。通信与信息基础教学部17信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系f(t)为奇谐函数:f(t)＝-f(tT/2)1000)sincos()(nnntnbtnaatf/20/22()cosTnTaftntdtT/20/22()sinTnTbftntdtT原波形移动T/2后再上下翻转与原波形重合，这种函数称为奇谐函数。奇谐函数的付氏级数中无偶次谐波项，即a２k=0，b２k=0，只含有奇次谐波分量。通信与信息基础教学部183.2.2指数形式傅里叶级数根据欧拉公式：1cos[]2jjee1sin[]2jjeej)sincos()(0010tnbtnaatfnnntjnwnnntjnwnnnejbaejbaatf0011022)(tjnwnntjnwnneFeFFtf001*10)(tjnwnneFtf0)(/20/22()cosTnTaftntdtT/20/22()sinTnTbftntdtT*22nnnnnnnnnnaabbajbajbFF通信与信息基础教学部190j001()()dTntFnftetT0n()FnwF可以写做0/20/2/20/2/2j/22()cos2()sin21()dTnTTnnnnTTntnTaftntdtTajbbftntdtFTFftetT通信与信息基础教学部20ntjnneFtf0)(其中称为傅里叶复系数见p1110/2/21()TjntnTFftedtT1()||2njnnnnFajbFe说明：nnnnAbaF2121||22nn00aF*nnFF100)cos()(nnntnAatf通信与信息基础教学部21tjnwnneFtf0)(也就是：傅立叶复级数中，级数的模是n的偶函数，而辐角是n的奇函数。*-nnFF则：n-nnA2FF2Fnnnjba2Fn-nnjba其中：-nn通信与信息基础教学部22例：求如图所示信号的傅里叶级数。f(t)t0T-TA/2-/2TAdttfTaTT2/2/0)(1/2/200/2/2000022()cossin|222sin()sin()22TnTAaftntdtntTnTnnAAnTn0nb通信与信息基础教学部231001000cos)2sin(2)sincos()(nnnntnnnATAtnbtnaatf)2()2sin()(21)(1002/2/0nSaTAnnAjbadtetfTFnnTTtjnnntjnntjnnenSaTAeFtf00)2()(0xxxSasin)(0x1-2-2-33dxxSa)(通信与信息基础教学部24021021()TjntnTFfttedtT令，则原式可化为：0xtt00002()21()TtjnxtTtfxedtT0000000221()TtjnxjntjntnTtfxedteFeT证明：Fn的时移性若，0()()ftFn则0000()()jntfttFne通信与信息基础教学部25若，()nftF则0()ndftjnFdtFn的时域微分性推广：0()()nnnndftjnFdt通信与信息基础教学部26作业通信与信息基础教学部273.3连续周期信号的频谱与功率谱3.3.1周期信号的频谱（Spectrum）3.3.2周期信号的功率谱（Powerspectrum）通信与信息基础教学部283.3.1周期信号的频谱100)cos()(nnntnAatfntjnneFtf0)(各种周期信号的区别在于：分量的数目、角频率、幅度、相位。频谱：幅度谱(幅度大小与频率的关系)、相位谱(相位与频率的关系)单边频谱：双边频谱：0~nAn单边幅度谱0|~|nFn双边幅度谱0~nn单边相位谱0~nn双边相位谱||njnnFFe通信与信息基础教学部290n0An0A0A1A2A32030…0n0n01232030…单边频谱0n0|Fn|0F0|F1||F2||F3|2030……|F-1||F-2||F-3|-0-20-300n0n02030…-0-20-30…123-1-2-3双边频谱100)cos()(nnntnAatfntjnneFtf0)(||njnnFFe通信与信息基础教学部30000002(2)0(4)(81)PnnnnnnAFAnFAAftFnwnw：画频谱图时必须注意下面几点：(1)，但当时，；三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；(3)由于表示振幅，故；当是实信号时，双边幅度频谱是的偶函数，双边相位频谱是的奇函数；(5)为了使图形清晰，采用竖线代替点的方法来表示相应幅度或相位的数值，称为，谱线只在基波的谱线整数倍处出现。*-nnFF通信与信息基础教学部310()()()()()()(1)()()P8nnneonnnnennoFnwftFftFftftftFRjIftFftftFRftf：一般情况下，是的复函数。但当是实偶数函数时，也为实偶函数；而为奇函数时，为虚奇