重庆邮电大学信号与系统课件第3章2

信号与系统(Signals&systems)第三章通信与信息基础教学部13.6LTI连续系统的频域分析傅里叶变换分析法系统特性的频域表征傅里叶变换分析法举例通信与信息基础教学部2傅里叶变换分析法(1)系统函数与描述系统的微分方程11101110()()()()()()()()()()()()nnnnmmmmaytaytaytaytbxtbxtbxtbxt对上式两边作傅里叶变换后，得11101110()()()()()()()mmmmnnnnYbjbjbjbHXajajaja11101110()()()()()()nnnnmmmmajajajaYwbjbjbjbXw11101110()()()()()()()()mmmmnnnnbjbjbjbYXwHwXwajajaja通信与信息基础教学部3傅里叶变换分析法(2)11101110()()()()()()()mmmmnnnnYbjbjbjbHXajajajaH(w)：系统在零状态条件下响应与激励的频谱之比，称为系统的（频谱形式的）系统函数（Systemfunction），也称为频率响应特性（简称频率响应）。显然，H(w)是w的复函数，它表征了系统的频率特性，是系统特性的频域描述。可见，系统函数只与系统本身的特性有关，而与激励无关。通信与信息基础教学部4傅里叶变换分析法(3)含义在频域中求解其零状态响应的方法，亦称为频域分析法。傅里叶变换分析法的一般计算步骤确定系统函数)(H)()(Xtx求激励的傅里叶变换求响应的傅里叶变换)()()(HXY将作傅里叶反变换，得零状态响应的时域函数)(Y)(ty关键：系统函数)(H通信与信息基础教学部5系统特性的频域表征(1)系统函数)(H)()()()(thtyttx1)(X)()()()(HHXY｝)()(Hth12j(1)2(1)tet12)(jeHj?)(th2()()thtet?)(H例：()()htH单位冲激响应与系统函数是傅里叶变换对通信与信息基础教学部6系统特性的频域表征(2)系统的频域特性()()|()|~jHHeＨ())(X)()()(HXY频率响应特性|~(|H幅频特性（偶函数）~)(相频特性（奇函数）通常，系统对信号的不同频率分量的振幅的加权和相位的移动是各不相同的，因此，系统的输出波形一般不再与输入波形相似。h(t)一般为实信号，故有H(-w)=H*(w)通信与信息基础教学部7系统特性的频域表征(3)RC低通滤波器211HwRC()()幅频特性：wwRC()arctan()相频特性：11j11jjwCHwRCRwC()通信与信息基础教学部8系统特性的频域表征(4)傅里叶变换分析法的物理意义()jtxte()[()]()()*()()()()|()|jtjtjjtjtytxthtehdeehdeHHeＨ())(|(|)(jeHH[()]()()|()|jtjtyteHHe由此表明：当一个无时限虚指数信号作用于线性系统时，其零状态响应仍为同频率的虚指数信号，其幅度扩大为原来的倍，相位增加了。|()|Hjte()通信与信息基础教学部9系统特性的频域表征(5)傅里叶变换分析法的物理意义tjtjedYedHXty2)()(2)()(()1()()22jtjtXxtXedde)(2)(2)(HedXedXtjtj与卷积分析有相似之处。傅里叶变换分析法是把信号分解为无穷个无时限虚指数信号之和，即把作为单元信号，然后求取各个单元信号作用于系统的响应，再进行叠加。卷积分析是直接在时域进行求解，傅里叶变换分析法是在频域进行求解，由频域解再求时域解。tje通信与信息基础教学部10系统特性的频域表征(6)时域和频域分析分析示意图通信与信息基础教学部11系统特性的频域表征(7)系统函数的几种求解方法（1）当已知系统的微分方程时，可以对微分方程两边取其傅里叶变换，来进行求取；（2）当已知系统的冲激响应时，可以对其求傅里叶变换来求取；（3）可假设x(t)=ejwt(-∞t+∞)时的零状态响应y(t)与x(t)的比来求取；（常用来求解正弦稳态响应）（4）当已知具体电路的情况下，系统函数可由电路的零状态响应频域等效电路模型来求取，而无需列写电路的微分方程。通信与信息基础教学部12系统特性的频域表征(8)11101110()()()()()()()()()()()()nnnnmmmmaytaytaytaytbxtbxtbxtbxt11101110()()()()()()()mmmmnnnnYbjbjbjbHXajajaja''()3'()2()'()5()ytytytxtxt例：已知描述系统的微分方程如下，求其系统函数。解：法（一）：2j5()j3j2wH通信与信息基础教学部13系统特性的频域表征(9)法（二）：2120002002()=0(0)0'(0)=1()'()5()=43()43j5()j1j2j3j2tttthtcecethhhththteetwH法（三）：2jjjjjj()3j()2()j5wtwtwtwtwtweHwweHweHwwee2j5()j3j2wH()3'()2()'()5()ytytytxtxtjjj2j()()()()'()j()''()(j)()wtwtwtwtxtetyteHwytweHwytweHw通信与信息基础教学部14系统特性的频域表征(10)211j11j()()1jj1jRwCRwCIwVwRRwCwLRwC例：电路如图所示，试求该电路的系统函数H(w)。解：221()()1()()()jjYwIwHwXwVwwRLCwLR法（四）：LCR1()vt2()it2()IwCj1R1()VLj通信与信息基础教学部15傅里叶变换分析法举例(1)含义在频域中求解其零状态响应的方法，亦称为频域分析法。傅里叶变换分析法的一般计算步骤确定系统函数)(H)()(Xtx求激励的傅里叶变换求响应的傅里叶变换)()()(HXY将作傅里叶反变换，得零状态响应的时域函数)(Y)(ty通信与信息基础教学部16傅里叶变换分析法举例(2)解：例1：如图所示RC低通滤波器，试用傅里叶变换分析法计算系统的阶跃响应。1()1+jHwwRC11()()()()j1+j111()()j1+jj1+jYwXwH()()1()tRCstytet1()()()()jxttX通信与信息基础教学部17傅里叶变换分析法举例(3)解：例2：''()5'()6()'()()()(0)2'(0)1tytytytxtxtetyy若系统的微分方程为，且已知，，，试求系统的完全响应。zizs()()()ytytyt(1):零输入响应（时域求解）23zi12''()5'()()()6()0ttyytytCeCttyte121212(0)2275'(0)1231yCCCCyCC23zi()75()ttyteet通信与信息基础教学部18傅里叶变换分析法举例(4)(2):零状态响应（频域求解）''()5'()6()'()ytytytxt2j()j5j6wH()()j1()txtetXww23121j()()()j1j5j6j1j1jj1j2jj323傅里叶变换分析法举例(5)1j12j23j3j1(j1)(j1)(j2)(j3)2j(j2)2(j1)(j2)(j3)j3(j3)(j1)(j2)(j3)223zs()0.521.5()tttyteeet(3):完全响应zizs232323()()75()0.52()0.596.5(1.5())ttttttttytyteeteeetyteeet312j1jj1j2j12j3j3KKK傅里叶变换分析法举例(6)解：例3：23()3()2()tthtetet求描述系统的微分方程。232()j2j33j92j4j2j3j5j5j6H''()5'()6()'()5()ytytytxtxt通信与信息基础教学部21傅里叶变换分析法举例(7)解：例4：0()coscos5''()3'()2()'()5()xtwttytytytxtxt若系统的微分方程如下，若激励，求稳态响应。法（一）：000()()(()co)sxtwtX2j5()j3j2wH()()()YwXwHw()()Ywyt通信与信息基础教学部22傅里叶变换分析法举例(8)法（二）：00jj0()()()()wtwtxtetyteHw00jj00()cosRe()Re()wtwtxtwteyteHw0j()00()()wHwHwe00j()j0000()Re()()cos()wwtytHweeHwwtw通信与信息基础教学部23傅里叶变换分析法举例(9)Ｈ())(|(|)(jeHH)]([00000|)(|)()(tjtjeHHetytjetx0)(Atx)()0()(AHty)cos()(0tAtx)](cos[|)(|)(000tHAty)sin()(0tAtx)](sin[|)(|)(000tHAty通信与信息基础教学部24傅里叶变换分析法举例(10)Ｈ())(|(|)(jeHH)cos()(0tAtx)](cos[|)(|)(000tHAty()cos5()(5)cos5(5)xttytHt255j5(5)()0.3122.74j3j2()cos5()0.3cos5122.74xttytt()sin5()0.3sin5122.74xttytt()cos560()0.3cos562.74xtKtytKt)sin()(0tAtx)](sin[|)(|)(000tHAty通信与信息基础教学部25傅里叶变换分析法举