重庆邮电大学信号与系统课件第4章1

信号与系统(Signals&systems)第四章（一）通信与信息基础教学部1傅里叶变换分析法在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅里叶变换有以下不足之处：1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信号不满足该条件，不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而且其变换式中常含有冲激函数，使分析计算麻烦2、有些重要函数如eat(a0)的傅里叶变换不存在，无法用傅里叶分析方法处理。而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到复频域，解决了上述不足。第四章连续信号与系统的复频域分析4、傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初始状态的系统时，不太方便1U(t)πδ(ω)+jω3、傅里叶变换的反变换比较难求通信与信息基础教学部2第四章连续信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯反变换4.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系4.5LTI连续系统的复频域分析4.6LTI系统函数4.7LTI连续时间系统的稳定性4.8系统的框图及信号流图通信与信息基础教学部34.1拉普拉斯变换4.1.1拉普拉斯变换定义4.1.2拉普拉斯变换的物理意义4.1.3典型信号的拉普拉斯变换通信与信息基础教学部44.1.1拉普拉斯变换定义(1)对于，要求绝对可积。dtetfFtj)()()(tf()()()()ttjtjtftefteedtftedt()()()jtbFjftedtj1()()2ttbfteFjedj1()()2ttbftFjeed有的信号之所以不满足绝对可积条件，是因为当时间趋于正负无穷大时，信号不趋于零，即不收敛：为此，引入一个衰减因子函数e–t（为实数），与信号f(t)相乘成为新的函数f(t)e–t。只要的数值选择得适当，这个新函数不再发散而变为收敛，满足绝对可积条件。该函数的傅氏变换为：tlimf(t)0通信与信息基础教学部54.1.1拉普拉斯变换(2)jsjdsdsj；令，()()()()()stbbftFsftedtFsft的双边拉普拉斯变换是的象函数jj()1()()2j()()bstbbFsftFsedsftFs的双边拉普拉斯反变换是的原函数()()()jtbFjftedt(j)1()()2tbftFjed()()bftFs双边拉普拉斯变换对：通信与信息基础教学部64.1.1拉普拉斯变换(3)拉普拉斯变换的物理意义deFtftj)(21)(jj1()()2jstbftFseds拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s域）间的联系。）傅里叶变换是将时域函数f(t)变换为频率域函数F(w)；或作相反的变换。此处时域变量t和频域变量w都是实数。（傅立叶变换建立了时域和频域（w域）间的联系。）()()stbFsftedt-j()()tFftedt通信与信息基础教学部7拉普拉斯变换的收敛域(1)拉普拉斯变换的收敛域通常把使f(t)e－σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域（regionofconvergence，ROC）。在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。|()|lim()0tttftedtfte或复平面（s平面）0j(j)jstttteeee通信与信息基础教学部8拉普拉斯变换的收敛域(2)解：j0()00001()()111limResatstatstsatbsatsatatttFsetedteedtdesaeeeesasasaasa其中：例：试求信号f(t)=eatε(t)的拉氏变换，并确定其收敛域。0jalim()lim()tattttfteeet即()lim()0attet成立必须满足即0aa通信与信息基础教学部9拉普拉斯变换的收敛域(3)解：000j()()11lim1RessttstbsttttFsetedtedteeesss其中：例：试求信号f(t)=-eβtε(-t)的拉氏变换，并确定其收敛域。j0通信与信息基础教学部10拉普拉斯变换的收敛域(4)解：例：试求信号f(t)=eβtε(-t)+eatε(t)的拉氏变换，并确定其收敛域。（其中：aβ）00()()()11RetatstbstsataFsetetedtedtsaedtsas其中：0ja通信与信息基础教学部11(单边)拉普拉斯变换（单边）拉普拉斯变换0()()stFsftedtjj1()()02jstftFsedst（）()()ftFs考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即t0时f(t)=0，以及信号虽然不起始于0，而问题的讨论只须考虑信号=0的部分。此时，拉式变换的积分从t=0–开始通信与信息基础教学部12如果因果信号f(t)满足：（1）在有限区间atb内（0ab）可积；（2）对于某个0，有：则对于Re[s]=0，单边拉普拉斯变换积分式绝对且一致收敛。即f(t)存在拉普拉斯变换（单边）拉普拉斯变换的收敛域0j0收敛坐标收敛轴0lim()0()ttfte(单边)拉普拉斯变换通信与信息基础教学部13冲激信号).()()()1afttFs00()()()1stttedttdtL证明：00).()stbtte000()()stttttedtL0000()ststttedte证明：典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部141()()()ftUtFss-st0--st0U(t)=U(t)edt1=(-)es11=0-(-)=ssL对于单边拉氏变换11()UtsLL证明：典型信号的拉氏变换单位阶跃信号通信与信息基础教学部15t的正幂信号令u=tndv=e-stdtdu=ntn-1dtv=-e-st/s1!()()()nnnfttUtFss0nnstttedt100nststnteentdtss100stnnetdts1nntsL21nnntssL01221nnntsssssL证明：典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部16例011ts1!nns原式L3t求？LL34436tss！：L解证毕典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部17指数信号1()()tfteFss证明：()00ttststeeedtedtL()01stess若则有0j001jtesj典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部18正弦信号0220()cos()sfttFss证明：000cos2jtjteet000011122jtjteesjsj222200122ssss典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部1900220()sin()fttFss同理0220()cos()()sfttUtFss00220()sin()()fttUtFss典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部20单边衰减正弦信号0220()()cos()()tsftetFss000()cos2jtjttteeftete001112()()sjsj22220012()()2()()ssss00()()2jtjtee证明：典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部2100220()sin()()tftetFss同理0220()()cos()()()tsftetUtFss00220()sin()()()tftetUtFss典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部22单边双曲函数22()c()sfthtFssc2tteeht证明：11122tteess2222122ssss典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部2322()s()fthtFss22()c()()sfthtUtFss22()s()()fthtUtFss22()s()()()tftehtUtFss22()()()()()tsftechtUtFss同理典型信号的拉氏变换通信与信息基础教学部24典型信号的拉普拉斯变换(1)1)(t1()ts()atAAetsa(s))(Ftf原函数像函数00220sin()tts0220cos()stts21()tts通信与信息基础教学部25典型信号的拉普拉斯变换(2)(s))(Ftf原函数像函数00220sin()atettsa0220cos()atsaettsa1!()nnntts22()shtts22()schtts通信与信息基础教学部264.2拉普拉斯变换的性质(1)1、线性)()()()(2211sFtfsFtf)()()()(2121sbFsaFtbftaf若，则例：32()()?ttetet解：322152()()1343ttsetetssss例：3(1)5(1)?tet解：33(1)333255(1)53(5)1(51)3tteeteessessts拉氏变换性质与傅里叶变换性质极为相似。在某些性质中，只要把傅氏变换中的j用s替代即可。通信与信息基础教学部27拉普拉斯变换的性质(2)2、比例性若，)()(sFtf1()()(0)sfatFaaa则例：(2)?tet解：0.51()0.5tets111(2)210.52tetss若，)()(Ftf则)(||1)(aFaatf傅氏变换通信与信息基础教学部28拉普拉斯变换的性质(3)3、时移性若，)()(sFtf0000()()(()0)stfttFsettt则例：2(1)?tet解：(2)222(1)21(1)(1)22sttseeteeteess解：2111tss（不能用时移性）例：?1t(1)(1)?tt221()1(1)(1)sttsttes若，)()(Ftf则0)()(0tjeFttf