初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第1页共8页第三讲素数与合数一、基础知识：对于任意正整数n1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。质数p和a互质，必要而且只要p|\a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。若p|\a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。质数的性质性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。性质3．设a是任意一个大于1的整数，则a的除1外最小正因数q是一质数，并且当a是合数时，qa证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1bq。但q|a，所以b|a，这与q是a的除1外的最小正因数矛盾，因而q是质数。当a是合数时，则a=c·q且c1，否则a是质数。由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c，2qqc=a故qa。说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于a的某些质数的倍数。换言之，如果所有不大于a的质数都不能整除a，那么a一定是质数（作为性质4如下）。此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。因为不大于19114的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。由于不大于508的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第2页共8页留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。性质4．如果对任意1到a之间的素数p，都有p|a，那么a为素数，这里a（a1）为正整数。证明：事实上，若a为合数，则可写成apq，2pq，因此2pa，即pa，这表明p的素因子a，且它是a的因数，与条件矛盾。因此a为素数。性质5．质数的个数是无穷的证明：（利用反证法）假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p，设q为所有素数之积加上1，那么，q=(2*3*5*……*p)+1不是素数，那么，q可以被2、3、……、p中的数整除，而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。所以，素数是无限的。二、典型问题：例1．设p，q，r都是素数，并且,pqrpq，求p解：由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p,q为一个奇数和一个偶数。因为pq，故p既是质数又是偶数，于是p=2.思考：当p=2时，r=2+q，满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。例2.设,,abc均为素数，且+68abc，1121abbcca，求abc的值。分析：要求abc的值，不一定要把a,b,c都求出来。注意到3个质数的和+68abc是偶数，所以a,b,c中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。解：不妨设abc由+68abc，得a=2，则66bc，代入()1121abcbc，得bc=989，故abc=1978例3解方程：()120xxyz，其中x,y是素数，z是奇素数。解：因为z是奇数，所以z+120是奇数，所以x和x+y均为奇数，所以y=(x+y)-x为偶数。又y为质数，所以y=2，所以x(x+2)=z+120所以22120xxz，即(12)(10)xxz，又z为质数，且x-10x+12初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第3页共8页所以10112xxz，所以x=11，z=23故方程的解为11223xyz例4.若n是正整数，且315n是一个素数，求n的值。解：因为315n=2(1)(1)5nnn是一个质数，所以5|(n-1)(n2+n+1)所以5|(n-1)，或5|(n2+n+1)，若5|(n2+n+1)，因为n1，所以n2+n+122+2+15又2(1)(1)5nnn是一个质数，所以n-1=1，即n=2，但此时n2+n+1=7，与5|(n2+n+1)矛盾。所以5|(n-1)，又n2+n+11，所以n-1=5，即n=6此时315n=43是质数，综上所述n=6例5设n为正整数，且n与25+3n均为素数，求证：25+41nn也是素数。证明：若n为奇质数，则5n2为奇数，所以25+3n为偶数。又因为n为正整数，显然25+3n2所以25+3n为合数，这与25+3n为质数矛盾。所以n为偶质数，即n=2当n=2时，2541nn=29为质数。例6设p，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p。解：设p=3k+r(r=0,1,2)(1)当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3(k+5)，为合数，与条件矛盾；(2)当r=2时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3(k+4)，为合数，与条件矛盾；由(1)(2)可知，要使p，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k，初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第4页共8页此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。故满足题意的p只有3。说明：质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。例7若p和p+2都是大于3的素数，求证：p+1是合数，且6是它的一个约数。分析：由6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数证明：因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类，其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数若p=6k+1，则p+2=3(2k+1)是合数，不合题意；所以p=6k-1，这时p+1=6k是合数，且6是它的一个约数。例8设m为正整数，且123(1)1m被m整除，求证：m为质数。证明：假设m为合数，令m=pq(1pm，1qm)，则A=123(1)m中含有因子p，因而A+1不会被p整除，它更不会被m整除，这与题设矛盾，从而可知m为质数。例9设n是大于1的正整数，求证：44n是合数。分析：我们只需把44n写成两个大于1的整数的乘积即可证明：44n=422444nnn=222(2)(2)nn=22(22)(22)nnnn因为2222222(1)11nnnnn所以44n是合数。例10若12,xx为正整数，且12xxa，121xxb，求证：22ab为合数。分析：将22ab用x1，x2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。证明：22ab=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=222212121xxxx=2212(1)(1)xx因为x1，x2是正整数，所以221211,11xx所以22ab为合数。例11给定下表：147101349141924初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第5页共8页71421283510192837461324354657求证：（1）若N在表中，则2N+7不是素数；（2）若N不在表中，则2N+7是素数。证明：由观察可知，表中第m行、第n列处的数为n(2m+1)+m-3（1）若N为表中第m行、第n列处的数，则2N+7=2[n(2m+1)+m-3]+7=(2n+1)(2m+1)因为m1,1mn，所以2n+11，2m+11，所以2N+7不是素数（2）设2N+7=pq，p1，q1，则p,q必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1)，N=n(2m+1)+m-3显然N为表中第m行、第n列处的数。例12是否存在连续四个正整数，它们均为合数？若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理由。分析：连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。解：设n=1234，则n，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。说明：如果不要求最小的一组，设n=2345，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）三、模拟训练1.有下列４种说法：（１）两个质数的和必是质数；（２）两个合数的和必是合数；（３）一个质数与一个合数的和必是质数；（４）一个质数与一个合数的和必是合数。其中正确的说法的个数有（）.A．0B．1C．2D．4答：A初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第6页共8页2.若p为质数，53p仍为质数，则75p为（）．Ａ.质数Ｂ.可为质数，也可为合数Ｃ.合数Ｄ.既不是质数，也不是合数答：C3.小于100的质数共___个，它们是__________________________________．答：25；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、974.能整除151153的最小质数是.答：25．己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿．答：2,96.己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．答：2,437.如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．三个质数之和为86，那么这三个质数是.答：1和193和52，3，718.两个质数x和y，己知91xy,那么x，y或x，y．答：7、13和13、79.p是质数，并且36p也是质数，则53p＝．答：1310.若qp,为质数，nm,为正整数，nmp，mnq，则nmqpnmqp＝．答：(19).53111.已知三个质数cba,,满足99abccba，那么ba＋cb＋ac的值等于．答：3412.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是.答：2913.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是．初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室第7页共8页答：（3）37414.