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第十六讲质数与合数我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数)．例如，1有一个正因数；2，3，5都有两个正因数，即1和其本身；4有三个正因数：1，2，4；12有六个正因数：1，2，3，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数．2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了2以外，质数都是奇数，小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．质数具有许多重要的性质：性质1一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．性质2如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足a2≤n．性质3质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明)．性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑p1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和．这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2)．下面我们举些例子．例1设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．解由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，q为一奇一偶．因为p＜q，故p既是质数又是偶数，于是p=2．例2设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．证由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．例3设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，所以n4+4是合数．例4是否存在连续88个自然数都是合数？解我们用n！表示1×2×3×…×n.令a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：a+2，a+3，a+4，…，a+89．这是因为对某个2≤k≤89，有a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)是两个大于1的自然数的乘积．说明由本例可知，对于任意自然数n，存在连续的n个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大．用(a，b)表示自然数a，b的最大公约数，如果(a，b)=1，那么a，b称为互质(互素)．例5证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．证首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不超过n的自然数都与n！-1互质(否则，n！与n！-1不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！．所以，在n与n！之间一定有一个素数．例6证明素数有无穷多个．证下面是欧几里得的证法．假设只有有限多个质数，设为p1，p2，…，pn.考虑p1p2…pn+1，由假设，p1p2…pn+1是合数，它一定有一个质约数p．显然，p不同于p1，p2，…，pn，这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾．例7证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．证设n是大于11的自然数．(1)若n=3k(k≥4)，则n＝3k=6+3(k-2)；(2)若n=3k+1(k≥4)，则n=3k+1=4+3(k-1)；(3)若n=3k+2(k≥4)，则n=8+3(k-2)．因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．例8求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．解三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．练习十六1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．2．若p是质数，并且8p2+1也是质数，求证：8p2-p+2也是质数．3．当m＞1时，证明：n4+4m4是合数．4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？5．设p和q都是大于3的质数，求证：24｜p2-q2．6．设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且求x+y的值．