平面向量知识点总结(精华)

平面向量基础知识复习1必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量AB按向量(1,3)a平移后得到的向量是_____.结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是||ABAB）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例2如下列命题：（1）若||||ab，则ab.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC.（5）若ab，bc，则ac.（6）若//ab，//bc则//ac.其中正确的是.结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；平面向量基础知识复习22.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)axiyjxy，称(,)xy为向量a的坐标，(,)axy叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设12,ee同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)，使1122aee.（1）定理核心：1122aλeλe；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,ee时，就说1122aλeλe为对向量a的正交分解．举例3（1）若(1,1)a，(1,1)b，(1,2)c，则c.结果：1322ab.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.1(0,0)e，2(1,2)eB.1(1,2)e，2(5,7)eC.1(3,5)e，2(6,10)eD.1(2,3)e，213,24e（3）已知,ADBE分别是ABC△的边BC，AC上的中线,且ADa，BEb,则BC可用向量,ab表示为.结果：2433ab.（4）已知ABC△中，点D在BC边上，且2CDDB，CDrABsAC，则rs的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||aa；（2）方向：当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0时，0a，注意：0a.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa，OBb，则把(0)AOB称为向量a，b的夹角.平面向量基础知识复习3当0时，a，b同向；当时，a，b反向；当2时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即||||cosabab.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4（1）ABC△中，||3AB，||4AC，||5BC，则ABBC_________.结果：9.（2）已知11,2a，10,2b，cakb，dab，c与d的夹角为4，则k____.结果：1.（3）已知||2a，||5b，3ab，则||ab____.结果：23.（4）已知,ab是两个非零向量，且||||||abab，则a与ab的夹角为____.结果：30.3.向量b在向量a上的投影：||cosb，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知||3a，||5b，且12ab，则向量a在向量b上的投影为______.结果：125.4.ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：（1）0abab；（2）当a、b同向时，||||abab，特别地，222||||aaaaaa；||||abab是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，||||abab，||||abab是a、b反向的充要分条件；当为锐角时，0ab，且a、b不同向，0ab是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，0ab，且a、b不反向；0ab是为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a，b夹角的计算公式：cos||||abab；④||||abab.举例6（1）已知(,2)a，(3,2)b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______.结果：43或0且13；平面向量基础知识复习4（2）已知OFQ△的面积为S，且1OFFQ，若1322S，则OF，FQ夹角的取值范围是_________.结果：,43；（3）已知(cos,sin)axx，(cos,sin)byy，且满足||3||kabakb（其中0k）.①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小.结果：①21(0)4kabkk；②最小值为12，60.六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若ABa，ACb，则abABACCA，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7（1）化简：①ABBCCD；②ABADDC；③()()ABCDACBD.结果：①AD；②CB；③0；（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa，BCb，ACc，则||abc.结果：22；（3）若O是ABC△所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC△的形状为.结果：直角三角形；（4）若D为ABC△的边BC的中点，ABC△所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则的值为.结果：2；（5）若点O是ABC△的外心，且0OAOBCO，则ABC△的内角C为.结果：120.2.坐标运算：设11(,)axy，22(,)bxy，则（1）向量的加减法运算：1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy.举例8（1）已知点(2,3)A，(5,4)B，(7,10)C，若()APABACR，则当____时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：12；平面向量基础知识复习5（2）已知(2,3)A，(1,4)B，且1(sin,cos)2ABxy，,(,)22xy，则xy.结果：6或2；（3）已知作用在点(1,1)A的三个力1(3,4)F，2(2,5)F，3(3,1)F，则合力123FFFF的终点坐标是.结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)axyxy.（3）若11(,)Axy，22(,)Bxy，则2121(,)ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9设(2,3)A，(1,5)B，且13ACAB，3ADAB，则,CD的坐标分别是__________.结果：11(1,),(7,9)3.（4）平面向量数量积：1212abxxyy.举例10已知向量(sin,cos)axx，(sin,sin)bxx，(1,0)c.（1）若3x，求向量a、c的夹角；（2）若3[,]84x，函数()fxab的最大值为12，求的值.结果：（1）150；（2）12或21.（5）向量的模：222222||||aaxyaxy.举例11已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝.结果：13.（6）两点间的距离：若11(,)Axy，22(,)Bxy，则222121||()()ABxxyy.举例12如图，在平面斜坐标系xOy中，60xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OPxeye，其中12,ee分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(,)xy.（1）若点P的斜坐标为(2,2)，求P到O的距离||PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.结果：（1）2；（2）2210xyxy.七、向量的运算律1.交换律：abba，()()aa，abba；2.结合律：()abcabc，()abcabc，()()()ababab；3.分配律：()aaa，()abab，()abcacbc.举例13给出下列命题：①()abcabac；②()()abcabc；③222()||2||||||abaabb；Oxy60平面向量基础知识复习6④若0ab，则0a或0b；⑤若abcb则ac；⑥22||aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb.其中正确的是.结果：①⑥⑨.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()abcabc，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0ababababxyyx.举例14(1)若向量(,1)ax，(4,)bx，当x_____时，a与b共线且方向相同.结果：2.（2）已知(1,1)a，(4,)bx，2uab，2vab，且//uv，则x.结果：4.（3）设(,12)PAk，(4,5)PB，(10,)PCk，则k_____时，,,ABC共线.结果：2或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0ababababxxyy.特别地||||||||ABACABACABACABAC.举例15(1)已知(1,2)OA，(3,)OBm，若OAOB，则m.结果：32m；（2）以原点O和(4,2)A为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点B的坐标是.结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)nab向量nm，且||||nm，则m的坐标是.结果：(,)ba或(,)ba.十、线段的定比分点1.定义：设点P是直线12PP上异于1P、2P的任意一点，若存在一个实数