动态规划(二)

程序设计与算法(二)郭炜信息科学技术学院1动态规划(二)3HelpJimmy(POJ1661)HelpJimmy是在下图所示的场景上完成的游戏：4场景中包括多个长度和高度各不相同的平台。地面是最低的平台，高度为零，长度无限。Jimmy老鼠在时刻0从高于所有平台的某处开始下落，它的下落速度始终为1米/秒。当Jimmy落到某个平台上时，游戏者选择让它向左还是向右跑，它跑动的速度也是1米/秒。当Jimmy跑到平台的边缘时，开始继续下落。Jimmy每次下落的高度不能超过MAX米，不然就会摔死，游戏也会结束。设计一个程序，计算Jimmy到地面时可能的最早时间。HelpJimmy(POJ1661)5输入数据第一行是测试数据的组数t（0=t=20）。每组测试数据的第一行是四个整数N，X，Y，MAX，用空格分隔。N是平台的数目（不包括地面），X和Y是Jimmy开始下落的位置的横竖坐标，MAX是一次下落的最大高度。接下来的N行每行描述一个平台，包括三个整数，X1[i]，X2[i]和H[i]。H[i]表示平台的高度，X1[i]和X2[i]表示平台左右端点的横坐标。1=N=1000，-20000=X,X1[i],X2[i]=20000，0H[i]Y=20000（i=1..N）。所有坐标的单位都是米。Jimmy的大小和平台的厚度均忽略不计。如果Jimmy恰好落在某个平台的边缘，被视为落在平台上。所有的平台均不重叠或相连。测试数据保Jimmy一定能安全到达地面。HelpJimmy(POJ1661)6输出要求对输入的每组测试数据，输出一个整数，Jimmy到地面时可能的最早时间。输入样例13817200108010134143输出样例23HelpJimmy(POJ1661)7Jimmy跳到一块板上后，可以有两种选择，向左走，或向右走。走到左端和走到右端所需的时间，是很容易算的。如果我们能知道，以左端为起点到达地面的最短时间，和以右端为起点到达地面的最短时间，那么向左走还是向右走，就很容选择了。因此，整个问题就被分解成两个子问题，即Jimmy所在位置下方第一块板左端为起点到地面的最短时间，和右端为起点到地面的最短时间。这两个子问题在形式上和原问题是完全一致的。将板子从上到下从1开始进行无重复的编号(越高的板子编号越小，高度相同的几块板子，哪块编号在前无所谓)，那么，和上面两个子问题相关的变量就只有板子的编号。解题思路8不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，假设LeftMinTime(k)表示从k号板子左端到地面的最短时间，RightMinTime(k)表示从k号板子右端到地面的最短时间，那么，求板子k左端点到地面的最短时间的方法如下：9if(板子k左端正下方没有别的板子){if(板子k的高度h(k)大于Max)LeftMinTime(k)=∞;elseLeftMinTime(k)=h(k);}elseif(板子k左端正下方的板子编号是m)LeftMinTime(k)=h(k)-h(m)+Min(LeftMinTime(m)+Lx(k)-Lx(m),RightMinTime(m)+Rx(m)-Lx(k));}10上面，h(i)就代表i号板子的高度，Lx(i)就代表i号板子左端点的横坐标，Rx(i)就代表i号板子右端点的横坐标。那么h(k)-h(m)当然就是从k号板子跳到m号板子所需要的时间，Lx(k)-Lx(m)就是从m号板子的落脚点走到m号板子左端点的时间，Rx(m)-Lx(k)就是从m号板子的落脚点走到右端点所需的时间。求RightMinTime(k)的过程类似。不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，那么整个问题就是要求LeftMinTime(0)。输入数据中，板子并没有按高度排序，所以程序中一定要首先将板子排序。11时间复杂度：一共n个板子，每个左右两端的最小时间各算一次O(n)找出板子一段到地面之间有那块板子，需要遍历板子O(n)总的时间复杂度O(n2)12例五、神奇的口袋(百练2755)有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n（1≤n≤20）个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a1，a2……an。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。13输入输入的第一行是正整数n(1=n=20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1，a2……an的值。输出输出不同的选择物品的方式的数目。输入样例3202020输出样例314枚举每个物品是选还是不选，共220种情况枚举的解法：15#includeiostreamusingnamespacestd;inta[30];intN;intWays(intw,intk){//从前k种物品中选择一些，凑成体积w的做法数目if(w==0)return1;if(k=0)return0;returnWays(w,k-1)+Ways(w-a[k],k-1);}intmain(){cinN;for(inti=1;i=N;++i)cina[i];coutWays(40,N);return0;}递归解法16#includeiostreamusingnamespacestd;inta[30];intN;intWays[50][40];//Ways[i][j]表示从前j种物品里凑出体积i的方法数intmain(){cinN;memset(Ways,0,sizeof(Ways));for(inti=1;i=N;++i){cina[i];Ways[0][i]=1;}Ways[0][0]=1;for(intw=1;w=40;++w){for(intk=1;k=N;++k){Ways[w][k]=Ways[w][k-1];if(w-a[k]=0)Ways[w][k]+=Ways[w-a[k]][k-1];}}coutWays[40][N];return0;}动规解法17例六、0-1背包问题(POJ3624)有N件物品和一个容积为M的背包。第i件物品的体积w[i]，价值是d[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。每种物品只有一件，可以选择放或者不放(N=3500,M=13000)。180-1背包问题(POJ3624)用F[i][j]表示取前i种物品，使它们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和。要求F[N][M]边界：if(w[1]=j)F[1][j]=d[1];elseF[1][j]=0;190-1背包问题(POJ3624)用F[i][j]表示取前i种物品，使它们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和递推：F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+d[i])取或不取第i种物品，两者选优(j-w[i]=0才有第二项)200-1背包问题(POJ3624)F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+d[i])本题如用记忆型递归，需要一个很大的二维数组，会超内存。注意到这个二维数组的下一行的值，只用到了上一行的正上方及左边的值，因此可用滚动数组的思想，只要一行即可。即可以用一维数组，用“人人为我”递推型动归实现。21例七、滑雪(百练1088)Michael喜欢滑雪百这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子12345161718196152425207142322218131211109一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。输入输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1=R,C=100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0=h=10000。输出输出最长区域的长度。22输入输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1=R,C=100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0=h=10000。输出输出最长区域的长度。样例输入5512345161718196152425207142322218131211109样例输出2523L(i,j)表示从点(i,j)出发的最长滑行长度。一个点(i,j),如果周围没有比它低的点，L(i,j)=1否则递推公式：L(i,j)等于(i,j)周围四个点中,比(i,j)低，且L值最大的那个点的L值，再加1复杂度：O(n2)解题思路24解法1）“人人为我”式递推L(i,j)表示从点(i,j)出发的最长滑行长度。一个点(i,j),如果周围没有比它低的点，L(i,j)=1将所有点按高度从小到大排序。每个点的L值都初始化为1从小到大遍历所有的点。经过一个点(i,j)时，用递推公式求L(i,j)解题思路25解法2）“我为人人”式递推L(i,j)表示从点(i,j)出发的最长滑行长度。一个点(i,j),如果周围没有比它低的点，L(i,j)=1将所有点按高度从小到大排序。每个点的L值都初始化为1从小到大遍历所有的点。经过一个点(i,j)时，要更新他周围的，比它高的点的L值。例如：ifH(i+1,j)H(i,j)//H代表高度L(i+1,j)=max(L(i+1,j),L(i,j)+1)解题思路26例八、分蛋糕问题描述有一块矩形大蛋糕，宽和高分别是整数w、h。现要将其切成m块小蛋糕，每个小蛋糕都必须是矩形、且宽和高均为整数。切蛋糕时，每次切一块蛋糕，将其分成两个矩形蛋糕。请计算：最后得到的m块小蛋糕中，最大的那块蛋糕的面积下限。假设w=4,h=4,m=4，则下面的切法可使得其中最大蛋糕块的面积最小。27例八、分蛋糕假设w=4,h=4,m=3，则下面的切法可使得其中最大蛋糕块的面积最小。28例八、分蛋糕输入共有多行，每行表示一个测试案例。每行是三个用空格分开的整数W,H,M，其中1≤W,H,M≤20，M≤WH.当W=H=M=0时不需要处理，表示输入结束。输出每个测试案例的结果占一行，输出一个整数，表示最大蛋糕块的面积下限。样例输入444443000样例输出4629例八、分蛋糕解题思路设ways(w,h,m)表示宽为w,高为h的蛋糕，被切m刀后，最大的那块蛋糕的面积最小值题目就是要求ways(W,H,M-1)边界条件：w*hm+1INFm==0w*h30例八、分蛋糕递推式:SV为第一刀竖着切时能得到的最好结果，SH为第一刀横着切时能得到的最好结果，则ways(w,h,m)=min(SV,SH)SV=min{Si,i=1...w-1},其中:Si=为第一刀左边宽为i的情况下的最好结果31例八、分蛋糕递推式:SV为第一刀竖着切时能得到的最好结果，SH为第一刀横着切时能得到的最好结果，则ways(w,h,m)=min(SV,SH)SV=min{Si,i=1...w-1},其中:Si=为第一刀左边宽为i的情况下的最好结果Si=min{max(ways(i,h,k),ways(w-i,h,m-1-k)),k=0...m-1}