矩阵理论-第三章---矩阵的Jordan标准型

第三章矩阵的Jordan标准型矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与计算中起着十分重要的作用，而且在控制理论、系统分析等领域有广泛的应用.3.1不变因子与初等因子形如()A111212122212()()()()()()()()()nnmmmnaaaaaaaaa的mn型矩阵称为–矩阵或多项式矩阵，其中()(1,2,,;1,2,,)ijaimjn为的多项式．–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律．对nn的-方阵可类似定义行列式、子式、余子式、伴随矩阵等概念．如果–矩阵()A中有一个r阶子式(1)r不为零，而所有1r阶子式（如果存在的话）全为零，则称()A的秩为r，记为()rankAr．零矩阵的秩为0．当(())nnrankAn时，称()nnA为满秩的或非奇异的．定义3.1设有n阶–矩阵()A、()B，若可使()()()()nABBAE成立，则称()A为可逆的，()B称为()A的逆矩阵，记为1()A．满秩的–矩阵不一定可逆．定理3.1n阶–矩阵()A可逆的充要条件是()A的行列式是一个非零常数．证明若–矩阵()A可逆，则有()()()()nABBAE成立，对其两边取行列式便有()()1AB，由于()A、()B都是的多项式，所以()A、()B都是常数．反之，设()0Ac，则11(())()()(())nAAAAEcc，所以()A是可逆的，11()()AAc，其中()A是()A的伴随矩阵．例3.1–矩阵2213()354A，321()2B中，因为det()4A，3det()2B，所以()A是可逆的，()B是不可逆的．–矩阵也有初等变换和初等矩阵．–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换：1．交换()A的第i行（列）与第j行（列）；2．用非零的数k乘以()A的第i行（列）；3．将()A的第j行（列）乘以一个多项式()后，加到第i行（列）上．–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次–矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．初等变换和初等矩阵都是可逆的定理3.2对任意一个mn型的–矩阵()A，作一次某种初等行（列）变换，相当于给()A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵．定义3.2设()A、()B是两个同型的–矩阵，如果()A可以经过有限次初等变换化为()B，则称()A与()B是等价的，记作()A()B．等价关系具有以下性质：1．自反性：()A()A；2．对称性：如果()A()B，那么()B()A．3．传递性：如果()A()B且()B()C，那么()A()C．由初等变换与初等矩阵的对应关系可得()()AB的充要条件是存在一些m阶与n阶的初等矩阵，分别左乘与右乘()A得到()B.还可注意到,如果两个–矩阵等价,则其秩相等;反之则不然.这也是–矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:1()01A,1()01B的秩相等,但不等价.定理3.3若(())rankAr，则其中1()|()iidd，1,2,,1ir(依次相除性)，()id为首1多项式，1,2,,ir.()D为()A的等价标准形，称为Smith标准形.12()()()()()00rdddAD例3.2化22221()1A为Smith标准形.132221()01ccA解323(1)1000000(1)ccc22131()()2100000cccc31221000rr推论1任一n阶可逆-矩阵均可经过若干次初等变换化为n阶单位矩阵nE.推论2可逆-矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.定义3.3n阶-矩阵()A中所有非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式称为()A的k阶行列式因子，记为()kD.由定义知()nD即为()A的行列式的值，显然1()|()kkDD(称为依次相除性)，1,2,,1kn.若()A的秩为r，则()0rD，但1()0rD，记11()()dD1()(),2,...,()kkkDdkrD则()(1,,)idir是r个首1的多项式.定义3.4上式中的()(1,,)idir称为()A的不变因子.其中r为()A的秩.定理3.3里()A的Smith标准形中的1(),,()rdd就是它的不变因子.定理3.4等价的n阶-矩阵有相同的各阶行列式因子及不变因子.两个n阶-矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子或相同的不变因子.由此可知n阶-矩阵的Smith标准形唯一.例3.4设2(1)()(1)A，求()A的Smith标准型及不变因子.解()A虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，故不是Smith标准形.方法一用初等变换322(1)()(1)ccA32(2)(1)(2)1rr232(2)(1)(1)01cc232(1)(1)1rr132321(1)(1)rrrr132321(1)(1)cccc化为Smith标准形，其不变因子为1()1d，2()(1)d，23()(1)d.方法二用定义计算根据最大公因式的计算，知行列式因子为1()1D2()(1)D233()(1)D不变因子为:1()1d，221()()(1)()DdD，2332()()(1)()DdD所以()A的Smith标准形为:21(1)(1)以下在复数域内讨论问题.11111212121121212()()()()()()()()()()()()()()()jsijiiisrjrsrrkkkkjskkkkijskkkkrjsddd因为1()|()iidd，所以12,jjijrjkkkk如遇0ijk，必有110jijijkkk，以上1,2,,ir；1,2,,js.定义3.5(),1,2,,idir的如上因式分解式中，所有幂指数不为0的因式()ijkj(1,2,,ir；1,2,,js)，称为()A的初等因子.全体初等因子的集合称为初等因子组.定理3.5n阶矩阵()A、()B等价的充要条件是它们有相同的初等因子组且秩相等.需要说明的是仅仅初等因子组相同不能保证它们等价，例如21()2(2)A22()(2)0B尽管它们的初等因子组相同，但因为两者的秩不等，显然不等价.为了求()A的初等因子，只要将()A化为准对角阵即可，因为有以下结论：若矩阵12()()()()kAAAA则12(),(),,()kAAA的各个初等因子组的全体即为()A的全体初等因子组.3.2矩阵的Jordan标准形今后为叙述简约，规定对于数字矩阵A，称EA的不变因子、初等因子为A的不变因子、初等因子.定理3.6~ABEAEB定理3.7AB的充要条件是A、B有相同的不变因子.定理3.8AB的充要条件是A、B有相同的初等因子组.定义3.6设i为A的互异特征值，1,2,,is，且A的特征多项式11det()()()()ismmmisEA其中，称im为A的特征值i的代数重数，dimiiVr（i的特征向量空间的维数）为i的几何重数.1siimn定理3.9设i为A的互异特征值，1,2,...,is，im，ir分别为i的代数重数与几何重数，则iirm定理3.10如果矩阵A的每个特征值的代数重数都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.当A不满足定理3.10时，它肯定不与对角阵相似，但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵，这就是它的Jordan标准形.定义3.8设i为A的互异特征值，共s个．im为i的代数重数，ir为i的几何重数.1isJJJJ，称J为A的Jordan标准形．1iiiimmkiriiJJJJ的几何重数i的代数重数i11ikiikinJ初等因子()ikni的幂指数.1irikiknm，1siimn，称ikJ为与初等因子()ikni对应的Jordan子块.不考虑Jordan子块的顺序，Jordan标准形唯一.定理3.11方阵A与它的Jordan标准形相似.例3.6求矩阵126103114A的Jordan标准形.解方法一首先求的初等因子组2313312,0132011113rrrrcc12613114EA132131,(3)21000110132rrcccc32323+,+,(1)210001000(1)ccrrrA的初等因子组为(1)，2(1).故A的Jordan标准型为100011001J方法二求特征值i及特征子空间的维数dimiirV令312613(1)0114EA故A的特征值为1231.226113113000113000iEA所以对应于特征值1i有2个线性无关的特征向量.故A的Jordan标准形为：100011001J3.3Hamilton-Coyle定理设nnAC，其特征多项式为()det()EA12121nnnnnaaaa矩阵A与()之间有如下重要的关系.定理3.13(Hamilton-Cayley定理)设nnAC，()det()EA，则()nnAO.例3.10设0100001000011000A，求1068AAA.解4()det()1EA由Hamilton-Cayley定理44()AAEO，因此1066448()88AAAAAEAA例3.11设110430102A，计算543246663AAAAAE.解232()det()(1)(2)452EA令5432()46663f容易求得2()(1)()1f由于()AO，故210()420101fAAE.定义3.9设