中考总复习：整式与因式分解--知识讲解(提高)

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（提高）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpmnpaaaa（,,mnp都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即mnmnaaa（,mn都是正整数）.（4）公式()mnmnaa的推广：(())mnpmnpaa(0a，,,mnp均为正整数)（5）逆用公式：nmmnmnaaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.（6）公式()nnnabab的推广：()nnnnabcabc(n为正整数).（7）逆用公式：nnnabab逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011221.22（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，2xaxbxabxab.考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(cbammcmbma（2）运用公式法：平方差公式：))((22bababa；完全平方公式：222)(2bababa（3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（6）运用求根公式法：若)0(02acbxax的两个根是1x、2x，则有：))((212xxxxacbxax.3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.（5）分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．（2014春•余姚市校级期末）若多项式x2+ax+8和多项式x2﹣3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）的值．【思路点拨】多项式与多项式相乘结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值．【答案与解析】解：∵（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）=x4+（﹣3+a）x3+（b﹣3a+8）x2﹣（ab+24）x+8b，又∵不含x2、x3项，∴﹣3+a=0，b﹣3a+8=0，解得a=3，b=1，∴（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）=（3﹣1）3﹣（33﹣13）=8﹣26=﹣18．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．2．（2015春•达州校级期中）已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．【思路点拨】首先把代数式a3b﹣2a2b2+ab3分解因式，然后尽可能变为和a﹣b、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果．【答案与解析】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2而a﹣b=5，ab=3，∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．【总结升华】本题主要运用完全平方公式对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果．3．已知25mx，求6155mx的值．【答案与解析】∵25mx，∴62331115()55520555mmxx．【点评】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnmnnmaaa．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】已知2ax，3bx．求32abx的值．【答案】32323232()()238972abababxxxxx．类型二、因式分解4．多项式222225xxyyy的最小值是____________.【答案】4；【解析】2222222514xxyyyxyy，所以最小值为4.【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.5．把3443axbyaybx分解因式．【答案与解析】解法一：3443(34)(34)axbyaybxaxaybxby(34)(34)(34)()axybxyxyab．解法二：3443(33)(44)axbyaybxaxbxayby3()4()()(34)xabyababxy．【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a和b，并且另一个因式都是(34xy)，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．举一反三：【变式1】分解因式：22244ababc【答案】原式22222(44)222aabbcabcabcabc.【变式2】(1)16x2－(x2＋4)2；(2).4412x【答案】(1)原式＝(4x)2－(x2＋4)2＝[4x＋(x2＋4)][4x－(x2＋4)]＝－(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝－(x＋2)2(x－2)2．(2)原式)16(412x).4)(4(41xx类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．若a、b、c为三角形的三边边长，试判断222222()4abcab的正负状况．【思路点拨】将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.【答案与解析】222222222222()4(2)(2)abcababcababcab2222[()][()]abcabc()()()()abcabcabcabc．依三角形两边之和大于第三边，知0abc，0abc，0abc，故222222()40abcab．【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三：【变式1】若△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足222166100abcabbc，求证：2acb.【答案】22216610abcabbc22222269251035aabbbbccabbc所以22350abbc2235abbc所以3(5)abbc所以28acbbca或因为△ABC的三边长分别为a、b、c，cab，所以8bcab，矛盾，舍去.所以2acb.【变式2】已知321xx，求441xx的值．【答案】2)1(122244xxxx22221[()2]2[(23)2]2xx＝102－2＝98．