定积分练习题

一、选择题1.设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分abf(x)dx的符号()A．一定是正的B．一定是负的C．当0ab时是正的，当ab0时是负的D．以上结论都不对解析：由abf(x)dx的几何意义及f(x)0，可知abf(x)dx表示x＝a，x＝b，y＝0与y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．∴abf(x)dx0.答案：A2.若22223000,,sinaxdxbxdxcxdx，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cbaD．cab解析：a＝13x3|20＝83，b＝14x4|20＝4，c＝－cosx|20＝1－cos2，∴cab.答案：D3.求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝01(x2－x)dxB．S＝01(x－x2)dxC．S＝01(y2－y)dyD．S＝01(y－y)dy[答案]B[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝01(x－x2)dx.4.11(sin1)xdx的值为()A.2B.0C.22cos1D.22cos1【答案】A【解析】1111(sin1)cos(cos11)cos(1)12xdxxx5.由曲线22yxx与直线yx所围成的封闭图形的面积为（）A．16B．13C．56D．23【答案】A【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由22,xxx解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:023201111111((2)()|().32326Sxxxdxxxxyyx22yxx1O二、填空题6.已知f(x)＝0x(2t－4)dt，则当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为________．解析：f(x)＝0x(2t－4)dt＝(t2－4t)|x0＝x2－4x＝(x－2)2－4(－1≤x≤3)，∴当x＝2时，f(x)min＝－4.答案：－47.一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30s内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s＝3020(38)ttdt＝(13t3－32t2＋8t)|300＝7890(m)．∴v＝st＝789030＝263(m/s)．答案：263m/s三、解答题8.求下列定积分：(1)12x－x2＋1xdx；(2)0(cose)dxxx＋；(3)49x(1＋x)dx；(4)0πcos2x2dx.解析：(1)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22|21－x33|21＋lnx|21＝32－73＋ln2＝ln2－56.(2)0(cose)dxxx＋＝00cosxdedxxx＝sinx||0－π＋ex0－π＝1－1eπ.(3)49x(1＋x)dx＝49(x12＋x)dx＝23x32＋12x249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516.(4)0πcos2x2dx＝0π1＋cosx2dx＝12x|0π＋12sinx|0π＝π2.9.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)．解：由f(0)＝0得c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2.10.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得a－b＋c＝2b＝0，即c＝2－ab＝0.∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又01f(x)dx＝01[ax2＋(2－a)]dx＝13ax3＋2－ax|10＝2－23a＝－2，∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，所以当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.B卷：5+2+2一、选择题1.已知f(x)为偶函数且601(),2fxdx则66()fxdx等于()A．2B．4C．1D．-1解析：∵f(x)为偶函数，∴60061()(),2fxdxfxdx∴6660()2()1.fxdxfxdx答案：C2.(改编题)已知()2fxx，则21()fxdx()A．3B.4C.3.5D.4.5【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,022323.5.2xxxxfxxfxdxxdxxdxxxxx3.已知函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k等于()A．2B．1C．3D．4答案：C解析：由y＝x2y＝kx消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为∫k0(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|k0＝92.即12k3－13k3＝92，解得k＝3.4.一物体在力F(x)＝100≤x≤23x＋4x2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为()A．44B．46C．48D．50解析：W＝04F(x)dx＝0210dx＋24(3x＋4)dx＝10x|20＋32x2＋4x|42＝46.答案：B5.函数xf满足00f，其导函数xf的图象如下图，则xf的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A．31B．34C．2D．38【答案】B【解析】由导函数xf的图像可知，函数xf为二次函数，且对称轴为1,x开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,fxaxbxcafcfxaxb因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1,2.ababab2()2fxxx，则xf的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为0232032-22114(2)()|=2)(2).333Sxxdxxx（-二、填空题6.（改编题）设20lg,0(),3,0axxfxxtdtx若((1))1,ff则a为。【答案】1【解析】23300(1)lg10,((1))(0)03|1,1.aafffftdttaa7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且xxyO21轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．[答案]－1[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．S阴影＝－a0(－x3＋ax2)dx＝112a4＝112，∴a＝－1.三．解答题8.（改编题）画出曲线2yx与直线1yx及4x所围成的封闭图形，并且其面积.解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC.由2yx与1yx联立可得C(2,1),由2yx与=4x联立可得B(4,12),由1yx与=4x联立可得A(4,3).所求封闭图形ABC的面积：44244222221(1)()|2ln|2Sxdxdxxxxx84222ln42ln242ln2.9.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112.(1)求切点A的坐标．(2)求过切点A的切线方程．解析：设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x02.令y＝0，得x＝x02.即C(x02，0)．设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，S曲边△AOB＝0023001|3xxxdxx13x03，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12(x0－x02)·x02＝14x03.xy24OABC∴S＝13x03－14x03＝112.∴x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.C卷：2+2+1一、选择题1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线2xy和曲线xy围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A．21B.61C.41D.31【答案】D【解析】312312002111()()|,=1.3333OBCAOBCASSxxdxxxSPS阴阴正方形正方形，2.设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则mng(x)dx的值是()A．－52B．－43C．－54D．－76[答案]A[解析]由题意可得，当0x1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m＝1，n＝4，则mng(x)dx＝14－x3dx＝－x2614＝－52.二．填空题3.220(4)xxdx_______________．【答案】2【解析】220(4)xdx等于圆224xy在第一象限的面积，则222222200001(4)(4)22xxdxxdxxdxx.4．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，则0x(kx－x2)dx＝x2(x2－kx)dx，即12kx2－13x3|x0＝13x3－12kx2|2x，解得12kx2－13x3＝83－2k－13x3－12kx2，解得k＝43，即直线OP的方程为y＝43x，所以点P的坐标为43，169.答案：43，169三．解答题5.如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．[解析]由题意得S1＝t·t2－0tx2dx＝23t3，S2＝t1x2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13，所以S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．又S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12，令S′(t)＝0，得t＝12或t＝0.因为当0t12时，S′(t)0；当12t≤1时，S′(t)0.所以S(t)在区间0，12上单调递减，在区间12，1上单调递增．所以，当t＝12时，Smin＝14.