《高等代数》知识点梳理

Stephen高等代数知识点梳理第四章矩阵一、矩阵及其运算1、矩阵的概念（1）定义：由ns×个数ija（si,2,1=；nj,2,1=）排成s行n列的数表snsnaaaa1111，称为s行n列矩阵，简记为nsijaA×=)(。（2）矩阵的相等：设nmijaA×=)(，klijaB×=)(，如果lm=，kn=，且ijijba=，对mi,2,1=；nj,2,1=都成立，则称A与B相等，记BA=。（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++=+snsnssnnsnsnsnsnbababababbbbaaaa1111111111111111。运算规律：①ABBA+=+②)()(CBACBA++=++③AOA=+④OAA=−+)(（2）数与矩阵的乘法：=snsnsnsnkakakakaaaaak11111111运算规律：①lAkAAlk+=+)(②kBkABAk+=+)(③AkllAk)()(=④OAA=−+)(（3）矩阵的乘法：=smsmnmnmsnsnccccbbbbaaaa111111111111其中-1-Stephennjiniiiiijbababac+++=2211，si,2,1=；mj,2,1=。运算规律：①)()(BCACAB=②ACABCBA+=+)(③CABAACB+=+)(④BkAkBAABk)()()(==一般情况，①BAAB≠②ACAB=，0≠A，⇒CB=③0=AB⇒0=A或0=A（4）矩阵的转置：=snsnaaaaA1111，A的转置就是指矩阵=nsnsaaaaA1111'运算规律：①AA=)''(②'')'(BABA+=+③'')'(ABAB=④')'(kAkA=（5）方阵的行列式：设方阵1111nnnnaaAaa=，则A的行列式为1111||nnnnaaAaa=。运算规律：①|||'|AA=②||||AkkAn=③||||||||BABAAB==这里A，B均为n级方阵。二、矩阵的逆1、基本概念（1）矩阵可逆的定义：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得EBAAB==，这里E是单位矩阵。（2）伴随矩阵：设ijA是矩阵=nnnnaaaaA1111中元素ija的代数余子式，矩阵-2-Stephen=nnnnAAAAA1111*称为A的伴随矩阵。1、基本性质（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（0||≠A），而||*1AAA=−（2）如果矩阵A，B可逆，那么'A与AB也可逆，且)'()'(11−−=AA，111)(−−−=ABAB。（3）设A是ns×矩阵，如果P是ss×可逆矩阵，Q是nn×可逆矩阵，那么)()()(AQrankPArankArank==三、矩阵分块对于两个有相同分块的准对角矩阵=lAAA001，=lBBB001如果它们相应的分块是同级的，则（1）=llBABAAB0011；（2）++=+llBABABA0011；（3）||||||||21lAAAA=；（4）A可逆的充要条件是lAAA,,,21可逆，且此时，=−−−111100lAAA。四、初等变换与初等矩阵1、基本概念（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。①用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作)(kckrii××②互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作)(jijiccrr↔↔-3-Stephen③将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作)(jiijkcckrr++称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。2、基本性质（1）对一个ns×矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss×初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn×初等矩阵。（2）任意一个ns×矩阵A都与一形式为10000100001000000000的等价，它称为矩阵A的标准型，主对角线上1的个数等于A的秩。（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。（4）两个ns×矩阵A，B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q，使PAQB=。3、用初等变换求逆矩阵的方法把n级矩阵A，E这两个nn×矩阵凑在一起，得到一个nn2×矩阵)(AE，用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是1−A。第五章二次型1、二次型及其矩阵表示（1）二次型：设P是一数域，一个系数在数域P中的nxxx,,,21的二次齐次多项式nnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxxf++++++++=222222112112211121222),,,(称为数域P上的一个n元二次型。（2）二次型矩阵：设),,,(21nxxxf是数域P上的n元二次型，),,,(21nxxxf可写成矩阵形式AXXxxxfn'),,,(21=。其中)',,,(21nxxxX=，nnijaA×=)(，AA='。A称为二次型),,,(21nxxxf的矩阵。秩（A）称为二次型),,,(21nxxxf的秩。-4-Stephen（3）矩阵的合同：数域P上nn×矩阵A，B称为合同的，如果有属于P上可逆的nn×矩阵C，使ACCB'=。2、标准型及规范性定理数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2222211nnydydyd+++，用矩阵的语言叙述，即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22221rzzz+++，且规范形是唯一的。定理任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22122221qpppzzzzz++−−−+++，且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指数，qrp=−称为此二次型的负惯指数，spq=−称为此二次型的符号差。3、正定二次型及正定矩阵（1）基本概念①正定二次型：实二次型),,,(21nxxxf称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数nccc,,,21,都有0),,,(21ncccf。②正定矩阵：实对称矩阵A称为正定的，如果二次型AXX'正定。③负定、半正定、半负定、不定的二次型：设),,,(21nxxxf是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数nccc,,,21,如果0),,,(21ncccf，那么),,,(21nxxxf称为负定的；如果都有0),,,(21≥ncccf那么称),,,(21nxxxf为半正定的；如果都有0),,,(21≤ncccf，那么),,,(21nxxxf称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么),,,(21nxxxf就称为不定的。（2）正定二次型、正定矩阵的判定：对于实二次型AXXxxxfn'),,,(21=，其中A是实对称的，下列条件等价：①),,,(21nxxxf是正定的；②A是正定的；-5-Stephen③),,,(21nxxxf的正惯指数为n；④A与单位矩阵合同；⑤A的各阶顺序主子式大于零。第六章线性空间1、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算；这就是说，给出了一个法则，对于V中的任意两个元素α、β在V中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为βαγ+=。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P中任意数k与V中任意元素α，在V中都有唯一的元素δ与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为αδk=。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。（1）αββα+=+；（2）γβαγβα++=++)()(；（3）在V中有一元素0，对于V中任意元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；（4）对于V中的每一个元素α，都有V中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素）；（5）αα=1；（6）αα)()(kllk=；（7）αααlklk+=+)(；（8）βαβαkkk+=+)(。2、维数，基与坐标（1）如果在线性空间V中有n个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。（2）如果在线性空间V中有n个线性无关的向量nααα,,,21，且V中任一向量都-6-Stephen可以用它们线性表出，那么V是n维的，而nααα,,,21就是V的一组基。（3）在n维线性空间中，n个线性无关的向量nεεε,,,21称为V的一组基。设α是V中任一向量，于是nεεε,,,21，α线性相关，因此α可以被基nεεε,,,21唯一的线性表出nnaaaεεεα+++=2211，其中系数naaa,,,21称为α在基nεεε,,,21下的坐标，记),,,(21naaa。3、基变换与坐标变换（1）设nεεε,,,21与neee,,,21是n维线性空间V中两组基，如果=nnnnnnaaaaeee11112121),,,(),,,(εεε，矩阵=nnnnaaaaA1111称为nεεε,,,21到基neee,,,21的过度矩阵。（2）设nεεε,,,21与neee,,,21是n维线性空间V中两组基，由基nεεε,,,21到基neee,,,21的过度矩阵为A，向量α在这两组基下的坐标分别为),,,(21nxxx与),,,(21nyyy，则=43214321yyyyAxxxx。4、线性子空间（1）数域P中线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。（2）线性空间V的非空子集W是V的子空间的充分必要条件是W对于V的两种运算封闭。（3）线性空间V的子空间1V，2V的交与和，即21VV，21VV+都是V的子空间。（4）维数公式：如果1V，2V是线性空间V的两个子空间，那么)dim()dim(dimdim212121VVVVVV−+=+（5）设1V，2V是线性空间V的子空间，如果和21VV+中的每个向量α的分解式-7-Stephen21ααα+=，11V∈α，22V∈α是唯一的，这个和就称为直和，记为21VV⊕。（6）设1V，2V是线性空间V的子空间，下列这些条件是等价的：①21VV+是直和；②零向量的表示式是唯一的；③}0{21=VV；④2121dimdim)dim(VVVV+=+。5、线性空间的同构（1）数域P上两个线性空间V与'V称为同构的，如果由V到'V有一个1—1的映上的映射σ，具有以下性质：①)()()(βσασβασ+=+；②)()(ασασkk=。其中α，β是V中任意向量，k是P中任意数，这样的映射σ称为同构映射。（2）数域P两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数。第七章线性变换一、线性变换及其运算1、线性变换的定义线性空间V的的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意元素α，β和数域P中任意数k，都有()()()αβαβ++A=AA，()()kkααA=A。2、线性变换的运算设A，B是数域P上线性空间V的两个线性变换，k