数一(考研数学历年真题)(1987-2011)

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学数学数学数学((((一一一一))))试卷试卷试卷试卷一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题((((本题共本题共本题共本题共5555小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题3333分分分分,,,,满分满分满分满分15151515分分分分....把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上))))(1)当x=_____________时,函数2xyx=⋅取得极小值.(2)由曲线lnyx=与两直线e1yx=+−及0y=所围成的平面图形的面积是_____________.1x=(3)与两直线1yt=−+及121111xyz+++==都平行且过原点的平面方程为_____________.2zt=+(4)设L为取正向的圆周229,xy+=则曲线积分2(22)(4)Lxyydxxxdy−+−∫�=_____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===αααααααααααα则向量(2,0,0)=ββββ在此基底下的坐标是_____________.二、二、二、二、((((本题满分本题满分本题满分本题满分8888分分分分))))求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat→=−+∫成立.三、三、三、三、((((本题满分本题满分本题满分本题满分7777分分分分))))(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy==+求,.uvxx∂∂∂∂(2)设矩阵AAAA和BBBB满足关系式2,+AB=ABAB=ABAB=ABAB=AB其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AAAA求矩阵.BBBB四、四、四、四、((((本题满分本题满分本题满分本题满分8888分分分分))))求微分方程26(9)1yyay′′′′′′+++=的通解,其中常数0.a五、选择题五、选择题五、选择题五、选择题((((本题共本题共本题共本题共4444小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题3333分分分分,,,,满分满分满分满分12121212分分分分....每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,,,,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,,,,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内))))(1)设2()()lim1,()xafxfaxa→−=−−则在xa=处(A)()fx的导数存在,且()0fa′≠(B)()fx取得极大值(C)()fx取得极小值(D)()fx的导数不存在(2)设()fx为已知连续函数0,(),stItftxdx=∫其中0,0,ts则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k则级数21(1)nnknn∞=+−∑(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设AAAA为n阶方阵，且AAAA的行列式||0,a=≠AAAA而****AAAA是AAAA的伴随矩阵，则*||AAAA等于(A)a(B)1a(C)1na−(D)na六六六六、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分10101010分）分）分）分）求幂级数1112nnnxn∞−=∑i的收敛域，并求其和函数.七七七七、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分10101010分）分）分）分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy∑=++−−∫∫其中∑是由曲线113()0zyyfxx⎧=−≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2π八八八八、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分10101010分）分）分）分）设函数()fx在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x函数()fx的值都在开区间(0,1)内,且()fx′≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得().fxx=九九九九、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分8888分）分）分）分）问,ab为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax+++=++=−+−−=+++=−有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题((((本题共本题共本题共本题共3333小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题2222分分分分,,,,满分满分满分满分6666分分分分....把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上))))(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211()e,xxfxπ−+−=则X的数学期望为____________,X的方差为____________.十一十一十一十一、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分6666分）分）分）分）设随机变量,XY相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx=1001x≤≤其它,()Yfy=e0y−00yy≤,求2ZXY=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学数学数学数学((((一一一一))))试卷试卷试卷试卷一、一、一、一、((((本题共本题共本题共本题共3333小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题5555分分分分,,,,满分满分满分满分15151515分分分分))))(1)求幂级数1(3)3nnnxn∞=−∑的收敛域.(2)设2()e,[()]1xfxfxxϕ==−且()0xϕ≥,求()xϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221xyz++=的外侧,计算曲面积分333.Ixdydzydzdxzdxdy∑=++∫∫�二、填空题二、填空题二、填空题二、填空题((((本题共本题共本题共本题共4444小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题3333分分分分,,,,满分满分满分满分12121212分分分分....把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上))))(1)若21()lim(1),txxfttx→∞=+则()ft′=_____________.(2)设()fx连续且310(),xftdtx−=∫则(7)f=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]−上定义为()fx=22x1001xx−≤≤,则的傅里叶()Fourier级数在1x=处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==AAAAααααγγγγγγγγγγγγBBBBββββγγγγγγγγγγγγ其中234,,,,ααααββββγγγγγγγγγγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==ABABABAB则行列式+ABABABAB=_____________.三、选择题三、选择题三、选择题三、选择题((((本题共本题共本题共本题共5555小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题3333分分分分,,,,满分满分满分满分15151515分分分分....每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,,,,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,,,,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内))))(1)设()fx可导且01(),2fx′=则0x∆→时,()fx在0x处的微分dy是(A)与x∆等价的无穷小(B)与x∆同阶的无穷小(C)比x∆低阶的无穷小(D)比x∆高阶的无穷小(2)设()yfx=是方程240yyy′′′−+=的一个解且00()0,()0,fxfx′=则函数()fx在点0x处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyzΩ++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdvdvΩΩ=∫∫∫∫∫∫(B)124ydvydvΩΩ=∫∫∫∫∫∫(C)124zdvzdvΩΩ=∫∫∫∫∫∫(D)124xyzdvxyzdvΩΩ=∫∫∫∫∫∫(4)设幂级数1(1)nnnax∞=−∑在1x=−处收敛,则此级数在2x=处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,,,(3)ssn≤≤αααααααααααα⋯线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,skkk⋯使11220sskkk+++≠αααααααααααα⋯(B)12,,,sαααααααααααα⋯中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sαααααααααααα⋯中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sαααααααααααα⋯中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、四、四、四、((((本题满分本题满分本题满分本题满分6666分分分分))))设()(),xyuyfxgyx=+其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxxy∂∂+∂∂∂五、五、五、五、((((本题满分本题满分本题满分本题满分8888分分分分))))设函数()yyx=满足微分方程322e,xyyy′′′−+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx=−−在该点处的切线重合,求函数().yyx=六六六六、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分9999分）分）分）分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx=−自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七七七七、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分6666分）分）分）分）已知,=APBPAPBPAPBPAPBP其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦BPBPBPBP求5,.AAAAAAAA八八八八、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分8888分）分）分）分）已知矩阵20000101x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AAAA与20000001y⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦BBBB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1−=PAPBPAPBPAPBPAPB的可逆阵.PPPP九九九九、、、、（本题满分（本题满分（本题满分（本题满分9999分）分）分）分）设函数()fx在区间[,]ab上连续,且在(,)ab内有()0,fx′证明:在(,)ab内存在唯一的,ξ使曲线()yfx=与两直线(),yfxaξ==所围平面图形面积1S是曲线()yfx=与两直线(),yfxbξ==所围平面图形面积2S的3倍.十、填空题十、填空题十、填空题十、填空题((((本题共本题共本题共本题共3333小题小题小题小题,,,,每小题每小题每小题每小题2222分分分分,,,,满分满分满分满分6666分分分分....把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上))))(1)设在三次独