有限元基础

二有限元分析基础理论与方法2弹性力学的基本理论(补充)(4)弹性力学问题的解法位移法:取位移分量u,v,w为基本未知量，先利用位移表示的平衡微分方程和边界条件求解位移，再利用几何方程求应变，利用物理方程求应力。应力法:取应力分量为基本未知量。混合法：同时取部分位移分量和应力分量作为基本未知量。求解上述方程可知，弹性力学问题在数学上是由偏微分方程及其边界条件描述的,微分方程的建立和求解比较复杂,只有在物体形状和受力较简单的情况下才能获得精确解。为了避免直接建立和求解这些微分方程的困难,提出了弹性力学微分方程的等价表达形式及其建立方法,即能量原理。3弹性力学的基本理论(补充)3.弹性力学中的能量原理(1)应变能弹性体在受到外载荷作用发生变形的过程中,将把克服内力所做的功作为应变能存储在弹性体内部,当外力去除后,应变能做功,使弹性体恢复原状。(2)虚位移原理将理论力学中刚体的虚功原理之推广到弹性体上,由于外力会使弹性体变形,因此,如果假定不存在热能和动能的改变,根据能量守恒定律,当处于平衡状态的弹性体发生体系所允许的任意微小位移时,外力在虚位移上所做的功等于虚位移发生时引起的弹性体的应变能增量,称为虚位移原理。4弹性力学的基本理论(补充)(3)最小势能原理最小势能原理可方便地建立弹性体基本未知量位移与外力之间的关系。一般弹性问题的最小势能原理可表述为:在满足位移边界条件的所有可能位移中,其中真实位移使系统的势能取最小值。(4)里兹法最小势能原理是利用求取积分问题的最小值将弹性力学的偏微分方程的求解化为线性方程组的求解,而积分方程极值问题的求解也不易实现。作为一种变分问题,可以利用里兹法进行求解。在1908年,里兹提出了一种“泛函变分的近似计算法”,它简化了求解过程。其基本思德是假定位移函数为级数形式(富氏级数、幂级数等),且满足有关边界条件,但级数中包含一些待定的参数ai(i=1,2,…)。将之代入积分方程,使其成为待定参数ai的函数。这样,将泛函求极值的变分问题转化为函数求极值的问题。5有限元分析基础理论与方法（一）有限元分析方法的基本概念有限元法分析计算的思路和步骤可归纳如下。1.分析模型的定义根据工程实际结构的形状、尺寸以及受载特点确定分析问题的力学模型。2.连续体的离散化将连续区域离散为由各种单元组成的计算模型,此过程称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用节点相互连接起来，有限元法中分析的结构已不是原有的物体或结构物,而是由众多单元以一定方式连接而成的模型。这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。如果划分单元类型合理且数目非常多,则所获得的结果就与实际情况较接近。6有限元分析基础理论与方法3.单元特性分析(1)选择位移模式在有限元法中,一般都是选择节点位移作为未知量的所谓“位移法”进行求解。当采用位移法时,可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。此时对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常,有限元法中将位移表示为单元坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。通常假定位移函数为多项式。(2)分析单元的力学特性根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何7有限元分析基础理论与方法方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。设节点载荷列阵用Fe表示，节点位移列阵用qe表示：则单元的力和位移的方程式为Fe=kqe（1）式中k——单元刚度矩阵。(3)计算等效节点力物体被离散后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的。因而，需要把作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都等效地移到节点上，即用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。8有限元分析基础理论与方法4.单元组装由上述获得的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵组装成表示整个结构的结构刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个结构已知量(总节点载荷)和整个物体未知量(总节点位移)的关系式。设总刚度矩阵为Κ、总载荷列阵为为F，整个连续体的节点位移为q，三者之间构成整体平衡方程式，即F=kq（2）5.求解平衡方程式考虑边界条件和初始条件，求解上述联立方程组，获得节点的位移值。可根据方程的具体特点来选择合适的计算方法。9有限元分析基础理论与方法（二）结构静力的有限元分析1.单元特性推导有限元分析的基本步骤之一就是要导出所划分单元的刚度矩阵,一般来说,建立刚度矩阵的方法有:①直接法;②虚功原理法;③能量变分原理方法。直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。该方法仅用于简单形状的单元,如梁单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。虚功原理是理论力学的一个基本原理,既可解决线形力学问题,也可用于一切非线性力学问题。最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述形式。能量变分原理方法是从势能的泛函表达式出发进行变分求极值的结果。能量变分原理方法的应用范围可以方便10有限元分析基础理论与方法地扩大到机械结构位移以外的其他不含非线性的领域。如求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。本课程简要介绍用虚功原理法推导单元刚度矩阵的过程,以平面问题中的三角形单元为例进行。(1)位移函数设定对于弹性力学的平面问题，一个节点具有2个自由度,即节点有沿x轴及y轴的2个位移分量,故图1所示三角形单元有6个自由度，即6个位移分量。设三角形单元内的位移函数为:d=(u(x,y)v(x,y))T，当单元很小时,单元内一点的位移可以通过节点的位移插值来表示。可假设单元内位移为x,y的线性函数,且具有6个待定系数a1~a6。即11有限元分析基础理论与方法图1三角形单元a)三角形单元节点位移b)三角形单元节点力12有限元分析基础理论与方法（3）或写成矩阵形式（3a）13有限元分析基础理论与方法在i、j、k三点有（3b）或写成矩阵（3c）14有限元分析基础理论与方法为了能用单元节点位移qe表示单元内某点位移d，即表达成节点位移插值函数的形式，应从上式中解出a=C-1qe。其中C逆阵为式中A—三角形面积15有限元分析基础理论与方法为使面积A不为负值，图1种的i,j,k的顺序按逆时针方向标注。将a=C-1qe=代入到式(3a)中，得16有限元分析基础理论与方法相乘后得(4)17有限元分析基础理论与方法或写成(4a)可简写为d=Nqe(4b)式中(4c)式中，Ni、Nj、Nk是坐标的连续函数，反映单元内位移分布状态，称为位移的形态函数。N称为形函数矩阵。Ni、Nj、Nk为18有限元分析基础理论与方法(2)求应变由弹性力学知，或写成矩阵形式19/36(7)有限元分析基础理论与方法20有限元分析基础理论与方法(3)求应力根据虎克定律，平面问题的应力式中，对于平面问题有(8)(9)21有限元分析基础理论与方法(4)求单元的刚度矩阵根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力（节点力）{F}e及内力{}所做的虚功之和应等于零，即(10)现给单元节点任意虚位移qe=(uiviujvjukvk)T,则单元内各点将产生相应的虚位移u，v和虚应变x,y,z，它们都为坐标x,y的函数。可分别按式(4b)和式(7)求得(11)(12)22有限元分析基础理论与方法求单元节点力的虚功：(13)再求内力虚功：(14)(15)式中，V－单元体积。将式(12)和式(8)代入到式(14)中，得到式中,qeT和qe可视为常值,将其移出积分号之外,即23有限元分析基础理论与方法(15a)(16)(17)考虑到虚位移的任意性,可以将式(16)中两边的qeT消除,得或式中,将式(13)和式(15a)代入到虚功方程,得(17a)(17b)将前述的[B]和[D]矩阵代入到式(17b)中，可得到平面应24有限元分析基础理论与方法(18)式中,分块阵的表达式为式中,t－－单元厚度。力问题三角形单元刚度矩阵的分块表达式为(18a)将式(18)代入到式(17a)中并展开得25有限元分析基础理论与方法(19)2.总刚度矩阵的形成通过单元分析得到了单元特性方程Fe=Keqe,根据此式还不能求出qe。因为Fe是单元之间的作用力,属于内力,是未知的，而通常知道的是结构所受的外力。由于内力成对出现,它们大小相等,方向相反,因此,如果将每个单元的特性方程叠加,便能消除这些成对的内力,最终只剩下已知的外力,而单元的刚度则集成为整体刚度。这也就是由单元刚度形成总刚的目的。26有限元分析基础理论与方法单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程。如式(19)中的第一式表明单元中节点i上的节点力等于该单元三个节点i、j、k的位移在节点i上所引起的节点力的叠加。这是一个单元对它的一个节点的节点力。而整体结构是由多个单元所组成的,即一个节点往往为几个单元所共有,则这个节点上的节点力就应该是共有这个节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力叠加总和。结构平衡时,每个节点也是平衡的。设作用在节点i上的载荷为{Ri},则节点i处的平衡方程为。eieiRF(20)将式(19)的第一式代入到式(20)中,得27有限元分析基础理论与方法对于结构中的所有节点，则有(21)ekjisiesis,,RqKniekjisniiesis11,,RqK(22)式中n－节点总数。将式(22)记为式中，{q}=(q1，q2，…，qn)T，是由所有节点的位移分量组成的列阵；{R}=(R1，R2，…，Rn)T，是由所有作用在节点上的载荷组成的列阵；[K]是要求的总刚度矩阵，表达式为RKq(23)28有限元分析基础理论与方法式(23a)为整个结构的平衡方程，称为有限元方程或刚度方程。(23a)niekjisisK1,,K3.载荷转移在式(23)中载荷列阵{R}的元素为作用在节点上的外载荷，是集中力。但结构上的载荷除了集中力之外，往往还有分布的面力和体力，不可能只作用在节点上，另外，即使是集中力也不一定刚好作用在节点上，因此，需要将这些载荷转换为节点载荷,即将载荷向节点移置。载荷移置遵循能量等效原则，即原载荷与移置载荷产生的节点载荷在虚位移上所做的功相等。对于给定位移的函数，29有限元分析基础理论与方法这种移置的结果是唯一的。在线形位移函数情况下，也可以按静力等效原则进行移置。载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原理,这种移置可能在局部产生误差,但不会影响整个结构的力学特性。(1)集中力的移置集中力的移置是面力和体力的基础。如图2所示,设平面单元e中某一点(x,y)作用集中力PcTcycxcppP设Pc移置后产生的等效节点载荷为TkykxjyjxiyixecRRRRRRRP30有限元分析基础理论与方法如果节点发生虚位移qe,则单元内任一点位移为集中力Pc所做的虚功为31有限元分析基础理论与方法等效节点载荷所做的虚功为根据能量等效原则,有由于虚位移是任意的，可以从上式两边同时约去，故有或由上两式可见，载荷移置的结果仅与单元形函数有关，(24)(24a)32有限元分析基础理论与方法当形函数确定后，移置的结果是唯一的。(2)面力的移置设厚度为t的平面单元单位面积上作用的面力为Ps＝(psx,psy)T,如图3所示。并将微元面积dA=tdl上的面力PsdA视为集中力，利用式(24)并积分，可得与面力等效的移置节点载荷为或(25)(25a)33有限元分析基础理论与方法根据形函数的特点，在ij边上有Nk=0，所以。因此在ij边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上。(3)体力的移置设单元体积内作用的体力为Pv＝(pvx,pvy)，若将微元体tdxdy上的体力Pvtdxdy视为集中力，则利用式(24)并积分，可得与体力等效的移置节点载荷为或(26)(26a)0RekPS34有限元分析基础理论与方法一