第23讲-图形的分割与拼接(学案)

小学奥数（五年级）1第23讲图形的分割与拼接本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【典型例题】【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【练习】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．小学奥数（五年级）2【练习】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【练习】1、下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCBA2、在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO3、把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20604020【例4】下图是一个34的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．小学奥数（五年级）3【练习】右图是一个44的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例5】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【练习】1、下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？2、图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例6】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【练习】1、已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．小学奥数（五年级）42、把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例7】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【练习】1、一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？2、将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例8】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥【练习】1、(第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．小学奥数（五年级）5春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题2、学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学3、如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学4、如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？5、如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙小学奥数（五年级）6【例9】正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【练习】1、正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCBA2、正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．【例10】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【练习】1、如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．小学奥数（五年级）72、(《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．3、(《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例11】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【练习】1、用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？2、用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【例12】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？小学奥数（五年级）8【练习】1、用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．2、用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【例13】有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【练习】1、(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A)(B)(C)已有A型板30块，要购买B、C两种型号板若干，拼成55正方形10个，B型板每块价格5元，C型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B、C两种板要花多少元？小学奥数（五年级）92、试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【例14】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【练习】1、把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．2、将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．3、试将一个49的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．小学奥数（五年级）104、长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．【例15】将下图分成两块，然后拼成一个正方形．【练习】1、将图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1图2图3【例16】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？【练习】1、试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．2、试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．小学奥数（五年级）113、试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．【例17】把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等．【练习】1、有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？2、如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．3、长方形长24厘米，宽15厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形．【例18】如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少．小学奥数（五年级）12【练习】1、把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形．甲510乙210742、如下图两个正方形的边长分别是a和b(ab)，将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．abba3、如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．小学奥数（五年级）13巩固练习1、请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。2、将右图分割成五个大小相等的图形。3、右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。4、将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。5、有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。6、用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。小学奥数（五年级）147、试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。8、用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。9、将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。10、将下图分成两块，然后拼成一个正方形。11、将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，然后拼成一个24×25的长方形。12、将一个正方形分成相等的4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。小学奥数（五年级）15参考答案1、分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。2、分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。3、分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。4、分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。5、分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。小学奥数（五年级）16容易得到下图所示的分割与拼接的方法。6、分析与解：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=