九年级上册圆的证明题及答案

DOBCAEPEECOBPDAOBACD．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．（1）证明：连结OC．∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即CD⊥OC，点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过O作OE⊥AB于E．∴∠OEA=90°∵AB=8，∴AE=4．在Rt△AEO中，∠AEO=90°，∴AO2=42+OE2．∵∠EDC=∠OEA=∠DCO=90°，∴四边形DEOC是矩形，∴OC=DE，OE=CD．∵AD:DC=1:3，∴设AD=x，则DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4，∴(x+4)2=42+(3x)2，解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=1．则OA=5．∴⊙O的半径是5．2.如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BACEDPONMFBACEDPNMF解：（1）AB=CD理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD3．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？解：BD=CD理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD4.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°答案A5．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．BACDO（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解：（1）CD与⊙O相切∵AB是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=12AB=12a利用勾股定理，可得边心距OM=221()2aa=123a∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a27．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解：（1）如图所示：∵300=2120360R∴R=30∴弧长L=12030180=20（cm）（2）如图所示：∵20=20r∴r=10，R=30AD=900100=202∴S轴截面=12×BC×AD=12×2×10×202=2002（cm2）因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是2002cm2．8.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解：(1)不同类型的正确结论有：①BE=CE;②弧BD=弧CD③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE=12BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5．∴⊙O的半径为59.已知：如图等边ABC△内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，FDECBAOM连结CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC△是什么三角形？并说明理由．（2）若AP不过圆心O，如图②，PDC△又是什么三角形？为什么？解：（1）PDC△为等边三角形．理由：ABC∵△为等边三角形ACBC∴，又∵在⊙O中PACDBC又APBD∵APCBDC∴△≌△．PCDC∴[来源:Zxxk.Com]又AP∵过圆心O，ABAC，60BAC°1302BAPPACBAC∴°30BAPBCP∴°，30PBCPAC°303060CPDPBCBCP∴°°°PDC∴△为等边三角形．（2）PDC△仍为等边三角形理由：先证APCBDC△≌△（过程同上）PCDC∴60BAPPAC∵°又BAPBCP∵，PACPBC60CPDBCPPBCBAPPAC∴°又PCDC∵PDC∴△为等边三角形．10.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么解：(1)证明：连结OD则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO[来源:Z|xx|k.]又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED∴CD=CE(2)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CEAOCDPB图①AOCDPB图②11.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若30P，求B的度数．解：PA切⊙O于AAB，是⊙O的直径，∴90PAO．[来源:学。科。网Z。X。X。K]30P，∴60AOP．∴1302BAOP12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若301cmDBCDE，，求BD的长．（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA．OAODODAOAD，．OADEDA．OACE∥．AEDE，9090AEDOAEDEA，．AEOA．AE是⊙O的切线．（2）BD是直径，90BCDBAD．3060DBCBDC，，120BDE．DA平分BDE，60BDAEDA．30ABDEAD．在RtAED△中，90302AEDEADADDE，，．在RtABD△中，903024BADABDBDADDE，，．DE的长是1cm，BD的长是4cm．13.如图，已知在⊙O中，AB=34，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.解：连结AD．∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD。∴AB=AD，BF=FD，BCCD。∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．∵BF=21AB=23，sin60°=ABAF，AF=AB·sin60°=43×23=6。ABCPODECBOADECBOAABCDOF∴OB2=BF2+OF2．即222(23)(6)OBOB．∴OB=4．∴S阴影=31S圆=16π3。（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴1202ππ4180r∴43r。