专题六--GARCH类模型

专题六GARCH类模型专题内容•ARCH模型及其参数估计•GARCH模型及其参数估计•EGARCH模型•TGARCH模型•GARCH-M模型•案例分析ARCH模型•ARCH模型。由Engle(1982)引入。,2,1}{,2,1,0,0)(~}{,2,1,)var(,0)(}{)(}{01)()var(,0)(}{),(0022222211022221222110tαηηqiααqARCHεARCHqεtληηEηηεαεαεααεqARεεzβzβzβPARσεεEεεxβxββxPARpxttittttttqtqtttttpptttttttt；为它满足：的分布是受约束的，因注意：白噪声过程。一般还假设。过程，记作阶的服从则称独立同分布，且有其中，过程服从，它的平方若一个随机过程外。所有的根都在单位圆之的特征根多项式过程是一稳定过程，它。过程，且为独立同分布的白噪声其中，如果阶的自回归表示形式有一个随机变量ARCH模型2211022122210222102212),,|(1)()(~10,001}{qtqtqttttqtttqiqqtεαεααεεεEσARCHtARCHααααεEσεqARCHεαααααzαzαzαε公式计算。干扰的函数，可由递推随机过程的条件方差时过去，的方法。在每一个时刻件方差出了计算时间序列的条模型的重要特征是：给为一常数。的无条件方差为，那么这样，若成立，则等价于。若的所有根均在单位圆外根方程为一个平稳过程，特征为了确保ARCH模型：ML估计服从非标准正态分布。）（服从标准正态分布；）（考虑两种情况：模型的参数估计，这里。其中，可以表示为：值。中可以包括滞后的为已知的回归变量，其模型中的。，，，。估计所用数据为已知，并记个观察值的前一般假设。为了计算方便起见，针对如下模型：ttqtqtttttttttTqqtttttvvARCHεαεαεααhvhεqARCHεyXyyyyyyqyqARCHεεβXy21,)(~,,,)(~2222211021021ARCH模型：ML估计。这里同理：。这里的分布如下：因此。进一步这里服从标准正态分布，则的分布，由于观察第一个样本。令。其中：服从标准正态分布针对如下模型22222211102121121122001011211111112112112200101212122010111111011011)()()(],2)(exp[21),|()()()(],2)(exp[21),|()()()(),,0(~],,,,,,,,,,,[)(~,)(βXyαβXyαβXyααhhβXyhYXyfβXyαβXyαβXyααhhβXyhYXyfyβXyαβXyαβXyααhεαεαεααhhNεvyXXXXyyyyYqARCHεεβXyvqtqtqttttttttttttqqqqqqqqqttqtttttttARCH模型：ML估计]')(,,)(,1[)(,0/')('2}221{})()(1{21)(ln21);Y,|(ln)(/)(21)ln(21)2ln(2);,|(ln)(:,]'[)(~,)(22111222221t12111101βXyβXyβzhXβzXαhhhhβXyβXyhhXyflhβXyhTθYXyfθLββqARCHεεβXyvqtqttttttttqjjtjtjttttttttttttttTttttTttTttttqtttt这里令然函数回归模型的条件对数似。，，，和要估计的参数包括。其中：服从标准正态分布针对如下模型ARCH模型：ML估计的解。为方程：的最大似然估计参数向量0)(lnˆ}0/')('2)(1{21]})()(1[21)(ln21{)(ln)(ln)()(ln112212221LhXβzXαhhhhβXyβXyhhLLlLTtttttqjjtjtjtttTtttttttttTttARCH模型：ML估计TttttttTtjtjttjtqjjtttttddhTIXLETIXXhhXXTIXLETIINTINT1212122121211})'()z(z{21ˆ}Y,|')(ln{1}'2'{1ˆ}Y,|')(ln{1,),0()ˆ(),0()ˆ(ˆˆ，其一致估计值为，其一致估计值为这里态的极限分布：在一定的条件下，有正是一致的估计，和计值通过计算可以得到，估ARCH模型式更加复杂。的一阶和二阶偏微分形。其中需要估计的参数为其对数似然函数为：这里密度函数可写成：有条件方差过程。相应于样本分布的服从有如果。其中：服从非标准正态分布针对如下模型)(ln,,])2()(1ln[21)ln(21})2(]2/[]2/)1[(ln{);,|(ln)(ln,])2(1[)2(]2/[]2/)1[()(,,)()t()(~,)(1212/111222221102/)1(22/12/111LkkhXykhkkkTYXyfLεεεhkhεhkkkεfhεyyqARCHkεqARCHεεβXyvTttttTttTttttqtqtttkttttttTtttttGARCH模型.)()()(,q,3,2,1),1,0(~}{)()(12022110之后多项式的商它可表示成两个有限阶为无穷阶滞后多项式：这里，异方差可表示为：条件过程的阶数。令独立同分布，且有中，过程假设在模型引入。为了弥补这一弱点，估计方法的效率会降低参数估计中迭代过大，在样本有限时，模型的阶数若的结构：决定于条件异方差模型jjjtttttttqtqttttttLLLLhARCHTtNvvvhqARCHGARCHqARCHhhvhqARCHGARCH模型为白噪声过程。时，；当时，当。过程，记过程，简称该过程即为广义的其中的常数项的上述形式下：实际上，在的根都在单位圆之外。的特征方程：其中，滞后多项式如下：后多项式的商可表示成两个有限阶滞tttrqtqttrtrtttrrrrqqqrqARCHrr,qGARCHGARCHARCHkhhhkhLzzzLLLLLLLLLLL0)(~0)(~)1()(01))(1(1)(1)()(,)(0210222221122110221221221GARCH模型证明略。。其中的充分必要条件为和，并有过程是稳定的随机过程定义的上述重要定理：qiiqiittttαstεεkεεEqrGARCHh11s10)1(,)1(1)1()1()(0),(cov))1()1(1()(D,0)(),(GARCH模型。为是稳定过程的充分条件根据前述定理，。参数满足如下条件：独立同分布，且有其中，过程表示为：金融学中有很多应用。别是在济学的许多领域中，特尽管形式简单，但在经过程。的一种过程。该过程是最简单1)1,1(~0;0;0),1,0(~}{;)1,1()1,1(11110211110GARCHkNvvhkhvhGARCHGARCHGARCHtttttttttGARCH模型ML估计]'','[]',,,,,,,,[]',,,,,,,,1[)1,0(~GARCH2121021222211210rqrtttqttttqiitiriitittttttttkhhhzhkhNvvhXy估计。令模型的参数的极大似然回归模型：考虑GARCH模型ML估计，就可得到一致估计只需估计的信息矩阵则参数注意到：其中，到的一阶和二阶微分，得求关于先对示为模型的对数似然函数表tttttTttttttriitittTttttttTttttttTtttttTtttTtTttthYXLETIYXhhhhEhzhhhhhhhhhLhhhLLhhTlLGARCH},|')(ln{10},|]21[')1({)('21]21[')1(')(ln)1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln1211121122112212111211GARCH模型ML估计qjitiqjjtjtjtTttttttTtttttTttttttTttttTtttttTttttTtttTtTttthXhhhhhhXhhhhhXXhLhhhhXLLhhTlLGARCH11'1121'21221'121211'112112]21[')1(2'21')(ln)1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln其中，到的一阶和二阶微分，得求关于先对示为模型的对数似然函数表GARCH模型ML估计)'ln(),0()ˆ(ˆt21tdfENT有正态的极限分布：时，当不对称的GARCH模型•针对股票价格变动，可以经常观察到，信息冲击下，向下波动性要强于向上波动性。为了解释这种想象，EngleandNg(1993)采用如下曲线来表述不对称的信息影响特征不对称的GARCH模型•不对称的GARCH模型类型多样，这里主要介绍两种：•EGARCH•TGARCHEGARCH模型•EGARCHorExponentialGARCHmodel由奈尔逊(Nelson，1991)提出的。过程服从则称过程中，在EGARCHvgvEvhvDvEvhARCHtjjtjtjtjtttttt10}|||{|)ln(,1)(,0)(EGARCH模型•EGARCH模型中的一个重要特征是在条件方差中引入了参数g，这使得条件方差在随机干扰项取值为正、负值时有不同程度的变化，从而能更准确地描述金融产品价格波动的情况。•比如，在股票市场中，若将利好消息看作是对股价的正干扰，将利空信息看作是负干扰，人们注意到，股价往往对同样程度的副干扰的反应更加强烈。EGARCH模型•这种正负干扰的不对称反映的不对称性可以有EGARCH模型来描述。•若参数g取值为负数，且大于-1时，那么一个负干扰所引起的条件方差的变化，比相同程度的正干扰引起条件方差的变化则更大；•若g大于0，同样程度的正干扰引起条件方差的变化则更大；•若g=0，则条件方差对于正负干扰的变化是对称的。EGARCH模型•π参数。由于EGARCH条件方差有指数形式表示，所以无论参数π取何实数，