【新高考复习】1 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程　新题培优练

[基础题组练]1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B.3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab0，bc0B．ab0，bc0C．ab0，bc0D．ab0，bc0解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab0且－cb0，故ab0，bc0.3．两直线xm－yn＝a与xn－ym＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是()解析：选B.直线方程xm－yn＝a可化为y＝nmx－na，直线xn－ym＝a可化为y＝mnx－ma，由此可知两条直线的斜率同号．4．(2019·广东惠州质检)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是()A．－1＜k＜15B．－1k12C．k＞15或k＜－1D．k＜－1或k12解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k＜3，解不等式得k＜－1或k＞12.5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)解析：选C.令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为12b2|－b|＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：3x＋4y＋15＝07．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝a＋2a.所以a＋2a＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.答案：－2或18．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×4k＋3＝±6，解得k1＝－23或k2＝－83.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x.设A(m，m)，B(－3n，n)，所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线得m＋n2＝12·m－3n2，m－0m－1＝n－0－3n－1，解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，所以lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.[综合题组练]1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A．3x－y－6＝0B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y－6＝0解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.2．(创新型)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为()A.92B.94C．1D．9解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m）2＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则12a＋2c＝12(a＋c)·12a＋2c＝1252＋c2a＋2ac≥1252＋2c2a·2ac＝94，当且仅当c＝2a＝43时取等号，故选B.3．直线l过点(－2，2)且与x轴、y轴分别交于点(a，0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为____________．解析：若a＝b＝0，则直线l过(0，0)与(－2，2)两点，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.若a≠0，b≠0，则直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意知－2a＋2b＝1，|a|＝|b|，解得a＝－4，b＝4，此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.答案：x＋y＝0或x－y＋4＝04．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.联立x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0.要使直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝23m2－241m2－3≥0，即m2≥16.所以实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.答案：－∞，－66∪66，＋∞5．(应用型)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD经过A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.6．(应用型)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点：(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，所以无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，则有k0，1＋2k≥0，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．综上，k的取值范围是k≥0.(3)依题意得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k)，且－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.所以S＝12·|OA|·|OB|＝12·－1＋2kk·|1＋2k|＝12·（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是4k＝1k，此时k＝12，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.