【新高考复习】3 第3讲　圆的方程　新题培优练

[基础题组练]1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a)，则（1－0）2＋（2－a）2＝1，解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋y2＝8B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝16D．(x＋1)2＋y2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝|1－0＋3|2＝22.所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8.故选A.3．方程|x|－1＝1－（y－1）2所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：选D.由题意得（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，|x|－1≥0，即（x－1）2＋（y－1）2＝1，x≥1或（x＋1）2＋（y－1）2＝1，x≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4D．(x－22)2＋(y＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝|2－a－22|2＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.5．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()A．x＋2y－8＝0B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0D．2x－y－16＝0解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－12，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－12(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，解方程组（x－4）2＋y2＝16y＝2x，得x＝85y＝165或x＝0y＝0(舍去)，即B(85，165)，因为A(8，0)，所以kAB＝16585－8＝－12，所以直线AB的方程为y－0＝－12(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3),若M(m，6)在圆C内，则m的范围为________．解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.半径r＝|CA|＝（2＋1）2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)210，解得0m4.答案：(0，4)7．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为________．解析：由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝58．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x，2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝29．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得a＝－3，b＝6，或a＝5，b＝－2.所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝k（x－1），y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，（x0＋1）2＝（y0－x0＋1）22＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[综合题组练]1．(应用型)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．(创新型)设点P是函数y＝－4－（x－1）2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为()A.855－2B.5C.5－2D.755－2解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.故选C.3．(2019·台州模拟)一个圆的圆心在直线y＝2x上，且与x轴的正半轴相切，被y轴截得的弦长为23，则该圆的标准方程为________．解析：根据题意，要求圆的圆心在直线y＝2x上，设其圆心为(m，2m)，又由其与x轴的正半轴相切，则m＞0，则半径r＝2m，则圆的标准方程为(x－m)2＋(y－2m)2＝4m2，又由该圆被y轴截得的弦长为23，则有4m2＝3＋m2，解可得：m＝±1，又由m＞0，则m＝1，则该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.答案：(x－1)2＋(y－2)2＝44．(应用型)(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为________．解析：由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：125．(应用型)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)由D2＋E2－4F0得(－2)2＋(－4)2－4m0，解得m5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝165，y1y2＝8＋m5.因为OM⊥ON，所以y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×165＋16＝0，解得m＝85.(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝12(x1＋x2)＝45，b＝12(y1＋y2)＝85，半径r＝|OC|＝455，所以所求圆的方程为x－452＋y－852＝165.6．(创新型)在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC→·BC→＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－12.由Δ0得m0或m8，所以m＝－12，此时C(0，－1)，AB的中点M－14，0即圆心，半径r＝|CM|＝174，故所求圆的方程为x＋142＋y2＝1716.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.令x2＋y2－y＝0，x＋2y－2＝0，可得x＝0，y＝1或x＝25，y＝45，故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45.