2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 高考专题突破六　高考中的概率与统计问题

大一轮复习讲义第十章计数原理、概率、随机变量及其分布例1某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.题型一随机事件的概率师生共研(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；解记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝34，且有PA·PC＝112，PB·PC＝14，即[1－PA]·[1－PC]＝112，PB·PC＝14，所以P(B)＝38，P(C)＝23.(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解有0个家庭回答正确的概率为P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝14×58×13＝596，有1个家庭回答正确的概率为P1＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－596－724＝2132.随机事件的概率求解策略(1)对复杂的随机事件表示成互斥事件的和，独立事件的积；(2)利用概率的性质进行计算.思维升华跟踪训练1(1)(2020·上海市七宝中学模拟)通过手机验证码登录哈啰单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1a2a3a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为____.∴P＝C37C410＝16.解析∵a1＝2,2a2a3a4，∴a2，a3，a4从3～9中选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列，分别对应a2，a3，a4即可，16(2)某城市2020年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率p1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为____.35解析由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为p＝110＋16＋13＝35.题型二用样本估计总体师生共研例2(2021·石家庄模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.(1)求x；解根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x＝0.05，∴x＝120.(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；解设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝953≈32，则中位数为32.(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“一带一路”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；解5个年龄组成绩的平均数为x1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感想合理即可).思维升华(1)注意频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法.(2)处理决策问题时，一般先比较平均数，若平均数相同，再比较方差.跟踪训练2(2020·佛山模拟)寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日销售量/件白天3532433951晚上4642505260已知摊位租金900元/档，售余精品可以进货价退回厂家.(1)求表中10个销售数据的中位数和平均数；解中位数为43＋462＝44.5，平均数为35＋46＋32＋42＋43＋50＋39＋52＋51＋6010＝45.(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？解由题意知，今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关，明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担.今年白天的平均销售量为35＋32＋43＋39＋515＝40(件/天)，今年晚上的平均销售量为46＋42＋50＋52＋605＝50(件/天)，所以甲同学应分担的租金为900×4040＋50＝400(元)，乙同学应分担的租金为900×5040＋50＝500(元).(注：本小题也可直接按白天、晚上的总销售量比例分摊租金.)例3(12分)(2019·北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：答题模板题型三离散型随机变量及其分布列支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和均值；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.解(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人).[1分]规范解答所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为＝0.4.[2分]40100(2)X的所有可能值为0,1,2.[3分]记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝9＋330＝0.4，P(D)＝14＋125＝0.6，[4分]所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.[5分]P(X＝1)＝P(CD∪CD)＝P(C)P(D)＋P(C)P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，[6分]P(X＝0)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.[7分]所以X的分布列为X012P0.240.520.24[8分]故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.[9分](3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝.[11分]1C330＝14060答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.[12分]第一步：审清题意，理清条件和结论，找到关键数量关系.第二步：找数量关系，把图表语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母.第三步：建立解决方案，找准公式，根据图表数据代入公式计算数值.第四步：作出判断得结论，依据题意，借助数表作出正确判断.第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范性.答题模板跟踪训练3某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值.解因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝Ci3C3－i5C38(i＝0,1,2,3).由公式可得P(X＝0)＝C03C35C38＝528，P(X＝1)＝C13C25C38＝1528，P(X＝2)＝C23C15C38＝1556，P(X＝3)＝C33C05C38＝156.所以X的分布列为所以X的均值为E(X)＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝6356＝98.X0123P52815281556156题型四回归分析与独立性检验师生共研例4近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x(单位：亩)12345管理时间y(单位：月)810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50(1)求y关于x的线性回归方程；(计算结果保留两位小数)参考公式：b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a^＝y－b^x，K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解依题意得，x＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y＝8＋10＋13＋25＋245＝16，故i＝15(xi－x)(yi－y)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，i＝15(xi－x)2＝4＋1＋1＋4＝10,则b^＝∑5i＝1xi－xyi－y∑5i＝1xi－x2＝4710＝4.7，a^＝y－b^x＝16－4.7×3＝1.9，所以y关于x的线性回归方程为y^＝4.7x＋1.9，(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？临界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解依题意，女性不愿意参与管理的人数为50，计算得K2的观测值为k＝300×150×50－50×502200×100×200×100＝30