【新高考复习】6 第5讲 第2课时　直线与椭圆的位置关系　新题培优练

[基础题组练]1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0解析：选B.由题意知，4m2＋n22，即m2＋n22，所以点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.43B.53C.54D.103解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点A(0，－2)，B53，43，所以S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|＝12×1×－2－43＝53，故选B.3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y23＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：选C.设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以b2a＝32，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为x24＋y23＝1.4．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4（t2－1）5.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·－85t2－4×4（t2－1）5＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.5．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，52)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是()A.2x275＋2y225＝1B.x275＋y225＝1C.x225＋y275＝1D.2x225＋2y275＝1解析：选C.c＝52，设椭圆方程为x2a2－50＋y2a2＝1，联立方程x2a2－50＋y2a2＝1，y＝3x－2，消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝12（a2－50）10a2－450＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为x225＋y275＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组y＝2（x－1），x25＋y24＝1，消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0.则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋22）532－4×0＝553.答案：5537．直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．解析：由点差法可求出k1＝－12·x中y中，所以k1·y中x中＝－12，即k1k2＝－12.答案：－128．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝12x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，0)关于直线y＝12x的对称点为(m，n)，可得n－0m－1＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为m＋12，n2，且中点在直线y＝12x上，所以有n2＝12×m＋12③，联立②③，解得m＝35，n＝45，即对称点为35，45，代入椭圆方程可得925a2＋1625b2＝1④，联立①④，解得a2＝95，b2＝45，所以椭圆方程为5x29＋5y24＝1.答案：5x29＋5y24＝19．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝35.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q14，0，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝54a，r2＝34a.在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝r21＋r22－|F1F2|22r1r2＝54a2＋34a2－222×54a×34a＝35，解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)联立方程，得x24＋y23＝1y＝kx＋m，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝x1＋x22＝－4km3＋4k2，y0＝kx0＋m＝3m3＋4k2，因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q14，0，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·3m3＋4k2－4km3＋4k2－14＝－1，解得m＝－3＋4k24k，②把②代入①得3＋4k2＞－3＋4k24k2，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞12或k＜－12，故k的取值范围为－∞，－12∪12，＋∞.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(－1，0)与椭圆交于E，F两点，若ED→＝2DF→，求直线EF的方程．解：(1)由题意，ba＝33，12a·b＝12·32·a2＋b2，得a＝3，b＝1，所以椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入x23＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由ED→＝2DF→，得y1＝－2y2.由y1＋y2＝－y2＝2mm2＋3，y1y2＝－2y22＝－2m2＋3，得－2mm2＋32＝1m2＋3，所以m＝1，m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1即x－y＋1＝0.[综合题组练]1．(一题多解)(2019·南宁模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.因为kAB＝y1－y2x1－x2＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以b2a2＝14，e＝ca＝1－ba2＝32，故选C.法二：将直线方程x－y＋5＝0代入x2a2＋y2b2＝1(ab0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－10a2a2＋b2，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以10a2a2＋b2＝8，解得a＝2b，又c＝a2－b2＝3b，所以e＝ca＝32.故选C.2．(综合型)设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·PF2→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是()A．4B．3C．2D．1解析：选D.因为(OP→＋OF2→)·PF2→＝(OP→＋F1O→)·PF2→＝F1P→·PF2→＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，所以S△F1PF2＝12mn＝1.3．从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－y0c，kAB＝－ba，由于OP∥AB，所以－y0c＝－ba，y0＝bca，把P－c，bca代入椭圆方程得（－c）2a2＋bca2b2＝1，所以ca2＝12，所以e＝ca＝22.答案：224.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)0，得b2ac，即a2－c2ac，故ca2＋ca－10即e2＋e－10，e5－12或e－5－12，又0e1，所以5－12e1.答案：5－12，15．(2019·成都模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0，1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．解：(1)由题可知c＝3，ab＝2，a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)。联立，得x＝my＋1，x2＋4y2＝4，消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.Δ＝16m2＋480，y1＋y2＝－2m4＋m2，y1y2＝－34＋m2.因为点B在以MN为直径的圆上，所以BM→·BN→＝0.因为BM→·BN→＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，所以(m2＋1)－34＋m2＋(m－1)－2m4＋m2＋2＝0，整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝53.所以直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.6．(应用型)(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为2＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，CP→＝2PD→.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，OM→＝OA→＋OB→，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由CP→＝2PD→，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)．所以x－m＝－2x，y＝2（n－y），得m＝（2＋1）x，n＝2＋12y，由|C