【新高考复习】7 第6讲　双曲线　新题培优练

[基础题组练]1．“k9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)0，所以k9或k25，所以“k9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x解析：选A.法一：由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A.法二：由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A.3．(一题多解)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)B．(－1，3)C．(0，3)D．(0，3)解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，所以2c＝2×|2m|＝4，所以|m|＝1，因为方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)0，所以－m2n3m2，所以－1n3.故选A.法二：因为原方程表示双曲线，且焦距为4，所以m2＋n0，3m2－n0，m2＋n＋3m2－n＝4，①或m2＋n0，3m2－n0，－（3m2－n）－（m2＋n）＝4，②由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解．故选A.4．若双曲线C1：x22－y28＝1与C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝45⇒c＝a2＋b2＝25⇒b＝4，故选B.5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A.5B.52C.5＋1D.5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝12|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝5，故选A.法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝1＋ba2＝5.6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.32B．3C．23D．4解析：选B.因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，由y＝－3（x－2），y＝33x，得x＝32，y＝32，所以M32，32，所以|OM|＝322＋322＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.x22－y28＝1B.x24－y2＝1C.x24－y216＝1D．x2－y24＝1解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以1＋b2a2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－y24＝1，故选D.8．(2019·河北邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为()A．2＋6B.2＋6C．2＋2D.2＋2解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋2，故选D.9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若PM→＝2MF→，则双曲线的离心率为()A.2B.62C.3D．2解析：选B.设P(0，3m)，由PM→＝2MF→，可得点M的坐标为23c，m，因为OM⊥PF，所以m23c·3m－c＝－1，所以m2＝29c2，所以M23c，±2c29，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋c32＋2c29＝c2，a2＝23c2，所以e＝ca＝62，故选B.10．(2019·石家庄模拟)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是()A.3B.2C．2D.33解析：选A.由题意可知F1(－c，0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以Bc，b2a，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以b2a－0c－（－c）＝33，化简整理得b22ac＝33，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－23ac＝0，两边同时除以a2得3e2－23e－3＝0，解得e＝3或e＝－33(舍去)，故选A.11．已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233解析：选A.由题意知a＝2，b＝1，c＝3，设F1(－3，0)，F2(3，0)，则MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0)．因为MF1→·MF2→0，所以(－3－x0)(3－x0)＋y200，即x20－3＋y200.因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，所以2＋2y20－3＋y200，所以－33y033.12．(2019·四川南充模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为()A．(1，2)B．(2，2＋2)C．(2，2)D．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F1(－c，0)，令x＝－c，可得y＝±b2a，可设A－c，b2a，B－c，－b2a.又设D(0，b)，可得AD→＝c，b－b2a.AB→＝0，－2b2a，DB→＝－c，－b－b2a.由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得AD→·AB→0，即为0－2b2a·b－b2a0，化为ab，即有a2b2＝c2－a2.可得c22a2，即e＝ca2.又e1，可得1e2；当∠ADB为钝角时，可得DA→·DB→0，即为c2－b2a＋bb2a－b0，化为c4－4a2c2＋2a40，由e＝ca，可得e4－4e2＋20.又e1，可得e2＋2.综上可得，e的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，所以b2a2＝169.又b2＝c2－a2，所以c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，所以e2＝259，所以e＝53.答案：5314．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝22，所以a2＋b2＝c2＝(22)2，解得a＝2.答案：215．(2019·武汉调研)已知点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知F(c，0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则Pc，b2a，双曲线渐近线的方程为bx±ay＝0，由题意，得b·c－a·b2aa2＋b2b·c＋a·b2aa2＋b2＝13，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝3b，所以双曲线的离心率e＝ca＝2b3b＝233.答案：23316．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝________．解析：如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.答案：1[综合题组练]1．(一题多解)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k(k0)，即x24k－y25k＝1，因为双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为x24－y25＝1.故选B.法二：因为椭圆x212＋y23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以a2＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝52x，所以ba＝52②，联立①②可解得a2＝4，b2＝5.所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±12xC．y＝±22xD．y＝±24x解析：选B.以