【新高考复习】8 第7讲　抛物线　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()A．y2＝233xB．y2＝3xC．y2＝23xD．y2＝33x解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求抛物线的方程为y2＝233x.故选A.3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．6解析：选B.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为()A.13B.33C.32D．1解析：选B.设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝12(|BB′|＋|AA′|)＝12(|BF|＋|AF|)＝12|AB|＝12|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是33.故选B.5．(2019·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝12|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，22)，所以k＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋p2＝6，即xM＝6－p2，又由题意可知xM＝p4，所以p4＝6－p2，解得p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.答案：y2＝16x7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝23(x＋2)，即x＝32y－2，由y2＝4x，x＝32y－2得y2－6y＋8＝0.由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，所以x1＋x2＝32(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝（y1y2）216＝4，因为F(1，0)，所以FM→·FN→＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8.答案：88．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝k（x－1），y2＝4x，消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.由y＝k（x－1），y2＝4x，消去x得y2＝41ky＋1，即y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得MA→·MB→＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1与y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4(x1－x2)，则k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.答案：29．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝43，因为MN⊥FA，所以kMN＝－34.又FA的方程为y＝43(x－1)，①MN的方程为y－2＝－34x，②联立①②，解得x＝85，y＝45，所以点N的坐标为85，45.10．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝22·x－p2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4，42)，设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)．又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[综合题组练]1．(2019·重庆六校联考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝833yD．x2＝1633y解析：选A.因为双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以ca＝2，即a2＋b2a2＝4，所以b2a2＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为2，所以a·p2a2＋b2＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y.2．(2019·湖南郴州模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程是()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解析：选C.设A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，如图，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线AB的斜率为3，故|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故p|AA1|＝|CF||AC|＝12，即p＝32，从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.3．(2019·广东六校第一次联考)抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为()A.118B.54C.32D．1解析：选A.由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋b.由题意知y0≥b＞0，联立得y＝kx＋by＝2x2，整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b＞0，x1＋x2＝k2，x1x2＝－b2，则|AB|＝1＋k2k24＋2b，点M的纵坐标y0＝y1＋y22＝x21＋x22＝k24＋b.因为弦AB的长为3，所以1＋k2k24＋2b＝3，即(1＋k2)(k24＋2b)＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2（1＋4y0－4b）（4y0＋4b）＝12，当且仅当b＝18y0＝118时取等号，即1＋8y0≥12，y0≥118，点M的纵坐标的最小值为118，故选A.4．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C(x0，x20)(x20≠a)，A(－a，a)，B(a，a)，则CA→＝(－a－x0，a－x20)，CB→＝(a－x0，a－x20)．因为CA⊥CB，所以CA→·CB→＝0，即－(a－x20)＋(a－x20)2＝0，(a－x20)(－1＋a－x20)＝0，所以x20＝a－1≥0，所以a≥1.答案：[1，＋∞)5．(应用型)(2019·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求OA→·OB→；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为323p2，求直线AB的斜率k.解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝2py，y＝kx＋p2，得x2－2pkx－p2＝0，则x1＋x2＝2pk，x1·x2＝－p2，所以y1·y2＝p24，所以OA→·OB→＝x1·x2＋y1·y2＝－34p2.(2)由x2＝2py，知y′＝xp，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为x1p，x2p，所以直线AM的方程为y－y1＝x1p(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝x2p(x－x2)，则可得Mpk，－p2.所以kMF＝－1k，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·4p2k2＋4p2＝2p(k2＋1)，用－1k代替k得，|CD|＝2p1k2＋1，四边形ACBD的面积S＝12·|AB|·|CD|＝2p22＋k2＋1k2＝323p2，解得k2＝3或k2＝13，即k＝±3或k＝±33.6．(创新型)(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△