2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.4　不等关系与不等式

大一轮复习讲义第一章集合、常用逻辑用语、不等式考试要求1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔a___ba－b＝0⇔a___b(a，b∈R)a－b0⇔a___b知识梳理(2)作商法1⇔a___b＝1⇔a___b(a∈R，b0)1⇔a___bababab＝＝性质性质内容特别提醒对称性ab⇔_____⇔传递性ab，bc⇒_____⇒可加性ab⇔___________⇔可乘性注意c的符号2.不等式的基本性质abc0⇒________abc0⇒________baaca＋cb＋cacbcacbc同向可加性⇒同向同正可乘性⇒可乘方性ab0⇒______(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a，b同为正数abcd⇒______________ab0cd0⇒________ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)a＋cb＋dacbdanbn微思考1.两个正数a，b，如果ab，则na与nb的大小关系如何？提示如果ab0，则nanb.2.非零实数a，b，如果ab，则1a与1b的大小关系如何？提示如果ab0且ab，则1a1b.如果a0b，则1a1b.(3)若ab1，则ab.()(4)若1a1b0，则ba0.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种.()(2)若ab，则acbc.()×√×√基础自测2.若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有A.MNB.M≥NC.MND.M≤N题组二教材改编√解析因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝10，所以MN.A.ac－bd0B.ac－bd0C.adbcD.adbc3.若ab0，cd0，则一定有√解析∵cd0，∴0－d－c，又0ba，∴－bd－ac，即bdac，又∵cd0，∴bdcdaccd，即bcad.4.比较两数的大小：7＋10_______3＋14.解析∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242，∴(7＋10)2(3＋14)2，∴7＋103＋14.题组三易错自纠5.(多选)下列命题为真命题的是A.若ab0，则ac2bc2B.若ab0，则a2abb2C.若ab0且c0，则D.若ab且，则ab0√ca2cb21a1b√√解析当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题；ab，a0⇒a2ab，ab，b0⇒abb2，∴a2abb2，∴B中命题是真命题；ab0⇒a2b20⇒01a21b2，∵c0，∴ca2cb2，∴C中命题是真命题；1a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0，∵ab，∴b－a0，ab0，∴D中命题是真命题，故选BCD.6.已知－1a2，－3b5，则a－b的取值范围是________.解析∵－3b5，∴－5－b3，又－1a2，∴－6a－b5.(－6,5)TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究题型一比较两个数(式)的大小师生共研例1(1)(2021·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是A.MNB.M≥NC.MND.M≤N√所以MN.解析因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝a＋122＋340，A.abcB.cbaC.cabD.bac√(2)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则解析令函数f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，易知当xe时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为___________.eπ·πeee·ππ解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝eππ－e，又0eπ1,0π－e1，∴eππ－e1，即eπ·πeee·ππ1，即eπ·πeee·ππ.比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.思维升华跟踪训练1(1)(2020·唐山模拟)已知x0，y0，则M和N的大小关系为A.MNB.MNC.M＝ND.以上都有可能M＝x2x＋2y，N＝4x－y5，√解析因为x0，y0，所以M－N＝x2x＋2y－4x－y5＝x2－4xy＋8y25x＋2y＝x－2y2＋4y25x＋2y0，即MN.(2)已知M＝e2020＋1e2021＋1，N＝e2021＋1e2022＋1，则M，N的大小关系为________.MN解析方法一M－N＝e2020＋1e2021＋1－e2021＋1e2022＋1＝e2020＋1e2022＋1－e2021＋12e2021＋1e2022＋1＝e2020＋e2022－2e2021e2021＋1e2022＋1＝e2020e－12e2021＋1e2022＋10.∴MN.显然f(x)是R上的减函数，∴f(2020)f(2021)，即MN.方法二令f(x)＝ex＋1ex＋1＋1＝1eex＋1＋1＋1－1eex＋1＋1＝1e＋1－1eex＋1＋1，例2(1)(2021·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是A.若ab，cd，则acbdB.若ab0，bc－ad0，C.若ab，cd，则a－db－cD.若ab，cd0，题型二不等式的基本性质师生共研则ca－db0则adbc√解析若0ab,0cd，则acbd，故选项A错误；若ab0，bc－ad0，则bc－adab0，即ca－db0，故选项B错误；若ab，cd，则－d－c，所以a－db－c，故选项C正确；若cd0，则1d1c0，若ab0，则adbc，故选项D错误.(2)(多选)若1a1b0，则下列不等式正确的是A.1a＋b1abB.|a|＋b0C.a－1ab－1bD.lna2lnb2√√解析由1a1b0，可知ba0.A中，因为a＋b0，ab0，所以1a＋b0，1ab0.故有1a＋b1ab，即A正确；B中，因为ba0，所以－b－a0.故－b|a|，即|a|＋b0，故B错误；C中，因为ba0，又1a1b0，则－1a－1b0，所以a－1ab－1b，故C正确；D中，因为ba0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2a20，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2lna2，故D错误.判断不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.(2)利用特殊值法排除错误答案.(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.思维升华跟踪训练2(1)若2m2n，则下列结论一定成立的是A.B.m|m|n|n|C.ln(m－n)0D.πm－n1解析∵2m2n，可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.1m1n√C.a＋2b＋2abD.ac3bc3A.B.1a1b(2)(多选)设ba0，c∈R，则下列不等式中正确的是解析因为y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以；√12a12b12x12a12b因为y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，所以1a1b；因为a＋2b＋2－ab＝2b－ab＋2b0，所以a＋2b＋2ab；当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立.√√题型三不等式性质的综合应用师生共研例3(1)已知－1x4,2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.(－4,2)(1,18)解析∵－1x4,2y3，∴－3－y－2，∴－4x－y2.由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，∴13x＋2y18.(2)已知3a8,4b9，则ab的取值范围是________.13，2解析∵4b9，∴191b14，又3a8，∴19×3ab14×8，即13ab2.引申探究若将本例(1)中条件改为－1x＋y4,2x－y3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，∴m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1x＋y4,2x－y3，∴－5252(x＋y)10,112(x－y)32，∴－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，∴3x＋2y的取值范围为－32，232.求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.思维升华跟踪训练3(1)已知abc,2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是A.－3ca－1B.－1ca－13C.－2ca－1D.－1ca－12√解析因为abc,2a＋b＋c＝0，所以a0，c0，b＝－2a－c，因为abc，所以－2a－ca，即3a－c，解得ca－3，将b＝－2a－c代入bc中，得－2a－cc，即a－c，得ca－1，所以－3ca－1.(2)已知0βαπ2，则α－β的取值范围是__________.0，π2解析∵0βπ2，∴－π2－β0，又0απ2，∴－π2α－βπ2，又βα，∴α－β0，即0α－βπ2.KESHIJINGLIAN课时精练1.若a，b都是实数，则的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516基础保分练√“a－b0”是“a2－b20”解析a－b0⇒ab≥0⇒ab≥0⇒a2b2，所以“a－b0”是“a2－b20”的充分不必要条件.但a2－b20D⇏a－b0，由不等式的性质知，C正确.A.a2b2B.ab2a2bC.1ab21a2bD.baab解析若ab0，则a2b2，故A不成立；2.已知非零实数a，b满足ab，则下列命题成立的是√若ab0，ab，则a2bab2，故B不成立；若a＝1，b＝2，则ba＝2，ab＝12，baab，故D不成立，12345678910111213141516123456789101112131415163.如果x＋y0，且y0，那么下列不等式成立的是A.y2x2－xyB.x2y2－xyC.x2－xyy2D.x2－xyy2√12345678910111213141516解析x2－y2＝(x－y)(x＋y)，∵x＋y0且y0，∴x0，∴x－y0，∴x2－y20，∴x2y2，又xy＋y2＝y(x＋y)，∵x＋y0，y0，∴y(x＋y)0，∴y2－xy.又x2＋xy＝x(x＋y)0，∴x2－xy，综上，x2－xyy2.12345678910111213141516解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－